迭代重加权最小二乘法

### 迭代重加权最小二乘法（IRLS）概念

迭代重加权最小二乘法是一种优化技术，最初源自于统计学和信号处理中的加权最小二乘方法，主要用于解决异方差性数据问题。该方法通过不断调整权重矩阵，在每次迭代过程中改进估计精度，最终获得更精确的结果[^1]。

### 原理阐述

#### 1. 初始设定
在开始时，通常赋予所有观测值相同的初始权重。对于线性模型 \( y = X\beta + \epsilon \)，其中 \(y\) 是响应变量向量，\(X\) 表示预测因子矩阵，而 \(\beta\) 和 \(\epsilon\) 分别代表参数向量以及误差项。

#### 2. 权重更新机制
随着迭代次数增加，根据当前残差大小动态改变各观察点对应的权重。具体来说，如果某个样本点的拟合效果较差，则降低其权重；反之则提高权重。这一过程可以通过定义一个合适的函数来实现，比如绝对偏差倒数或Huber损失函数等形式。

#### 3. 收敛条件
当连续两次计算得到的系数差异小于预设阈值时认为达到收敛状态，停止迭代并输出最优解。整个流程可视为一种逐步逼近真实参数的过程，从而提高了对异常值不敏感性和整体稳健性能。

function beta_hat = irwlsp(y, X)
    % IRWLS implementation using MATLAB
    
    n = length(y);
    w = ones(n, 1); % Initialize weights as equal importance initially.
    
    max_iter = 100;
    tol      = 1e-8;
    prev_beta= zeros(size(X, 2), 1);

    for iter = 1:max_iter
        
        W       = diag(w);          % Construct diagonal weight matrix from vector 'w'
        z       = X * prev_beta;     % Linear predictor based on previous iteration's estimate
        r       = y - z;            % Residuals between observed and predicted values
        
        % Update rule depends on specific choice of loss function here we use simple inverse absolute residuals weighting scheme
        w       = abs(r).^(-1);     
        curr_beta = (X' * W * X)\(X'*W*y); 

        if norm(curr_beta - prev_beta) < tol
            break;
        end
        
        prev_beta = curr_beta;
        
    end
    
end

此段MATLAB代码展示了如何利用迭代重加权最小二乘法来进行回归分析，特别适用于存在大量噪声干扰的数据集上寻求更加稳定可靠的参数估计结果[^2]。

### 应用场景

- **高维数据分析**：面对海量特征维度下的机器学习任务，如基因表达谱分类、图像识别等领域内，能够有效筛选出最具影响力的少数几个因素；

- **鲁棒目标定位**：针对无线传感网络环境下的节点位置测定难题，借助平方距离度量方式排除不良影响源，进而提升定位准确性与可靠性；

- **稀疏信号重建**：结合压缩感知理论框架下开展研究工作，旨在从少量随机采样中重构原始完整信息流，广泛应用于通信工程、医学成像等多个行业之中。