为什么计算梯度是 要标量值

计算梯度是为了衡量函数在某个点的变化率，因此需要计算函数在该点沿每个自变量方向的偏导数。由于偏导数是对某个自变量求导得到的，因此需要对该自变量进行微小的变化，从而得到函数在该点的变化率。由于变化率是一个标量值，因此计算梯度时需要对标量值进行求导，从而得到每个自变量方向上的变化率。因此，计算梯度需要将函数的输出标量化。

相关问题

方向导数是什么，梯度是什么

方向导数是一个向量值函数在某个给定方向上的变化率。它衡量了函数在某个特定方向上的变化速率。

设有一个函数 f(x, y, z)，在点 P(x0, y0, z0) 处存在偏导数，而且存在一个与该点相切的单位向量 u = (a, b, c)。那么函数 f 在点 P 沿着方向 u 的方向导数定义为：

D_u f = ∇f · u = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b + ∂f/∂z * c

其中，∇f 是函数 f 的梯度向量，它包含了函数在每个方向上的偏导数。

梯度是一个向量，它指向函数值增加最快的方向，并且其模长表示了增加速率的大小。对于一个标量函数 f(x, y, z)，它的梯度向量定义为：

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

梯度的方向是函数在某一点最陡峭的上升方向，梯度的模长表示了函数在该点上升最快的速率。

总结起来，方向导数是函数在某个给定方向上的变化率，而梯度是函数值增加最快的方向和对应的速率。

怎么计算梯度

在 PyTorch 中，计算梯度需要通过 `backward()` 方法来实现。具体步骤如下：

1. 创建需要计算梯度的张量，并设置 `requires_grad=True`。

import torch

x = torch.tensor([1., 2., 3.], requires_grad=True)

2. 使用这些张量进行计算。

y = x * 2
z = y.mean()

3. 调用 `backward()` 方法计算梯度。

z.backward()

4. 使用 `grad` 属性获取计算得到的梯度。

print(x.grad)

完整的示例代码如下：

import torch

x = torch.tensor([1., 2., 3.], requires_grad=True)
y = x * 2
z = y.mean()

z.backward()

print(x.grad)

运行结果为：

tensor([0.6667, 0.6667, 0.6667])

上面的代码中，`x` 对应的梯度值为 `[0.6667, 0.6667, 0.6667]`。这是因为 `z = y.mean()` 对 `y` 每个元素求平均值得到标量 `z`，然后再对 `z` 求关于 `x` 的梯度，即 $\frac{\partial z}{\partial x_i}$，得到的结果就是 `[0.6667, 0.6667, 0.6667]`。