给定数据表中newton插值多项式matlab代码,

以下是给定数据表中Newton插值多项式的Matlab代码：

% x和y表示数据表的x和y坐标
% xx表示需要进行插值的点
function [yy] = Newton_Interpolation(x,y,xx)
n = length(x);
F = zeros(n);
F(:,1) = y';
for j=2:n
    for i=j:n
        F(i,j) = (F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));
    end
end
yy = F(1,1);
for j=1:n-1
    p = 1;
    for i=1:j
        p = p*(xx-x(i));
    end
    yy = yy + F(j+1,j+1)*p;
end

其中，`x`和`y`分别表示数据表的x和y坐标，`xx`表示需要进行插值的点。函数`Newton_Interpolation`返回插值的结果`yy`。

相关问题

对于函数1/（1+x^2） 在[-5,5]内，按等距节点求n次lagrange插值多项式和newton插值多项式。 取100点，画出插值多项式和原函数的对比图。 并分别比较在x=3.5，x=4.5处的值。 给出具体的matlab代码

首先，我们需要了解Lagrange插值多项式和Newton插值多项式的定义和计算方法。

Lagrange插值多项式的基本形式是：
\[ L_n(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot l_i(x) \]
其中 \( l_i(x) \) 是Lagrange基多项式，定义为：
\[ l_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]
\( x_i \) 是给定节点，\( y_i \) 是在 \( x_i \) 处的函数值。

Newton插值多项式则是：
\[ N_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \cdots + a_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}) \]
其中 \( a_i \) 是差商，可以通过差商表计算得到。

对于函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，我们可以在区间 \([-5,5]\) 上取等距节点进行插值。对于Lagrange和Newton插值多项式，我们需要分别计算出对应的插值多项式的系数，然后在MATLAB中画出插值多项式和原函数的图像，并计算特定点的函数值。

以下是一个MATLAB代码示例，用于计算和绘制Lagrange和Newton插值多项式以及比较特定点的值：

% 定义原函数
f = @(x) 1./(1+x.^2);

% 定义区间和节点数
a = -5;
b = 5;
n = 99; % 插值节点数，加1是因为包括区间端点
x = linspace(a, b, n+1);
y = f(x);

% 使用Lagrange插值多项式
lagrange_poly = @(xq) lagrangeInterpolation(x, y, xq);
lagrange_vals = lagrange_poly(linspace(a, b, 100));

% 使用Newton插值多项式
newton_poly = @(xq) newtonInterpolation(x, y, xq);
newton_vals = newton_poly(linspace(a, b, 100));

% 绘制原函数和插值多项式
x_plot = linspace(a, b, 1000);
y_plot = f(x_plot);
figure;
plot(x_plot, y_plot, 'k', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(x_plot, lagrange_vals, 'b--', 'LineWidth', 1.5);
plot(x_plot, newton_vals, 'r-.', 'LineWidth', 1.5);
legend('Original function', 'Lagrange polynomial', 'Newton polynomial');
title('Lagrange and Newton Interpolation');
hold off;

% 计算特定点的值
x_specific = [3.5, 4.5];
lagrange_specific = lagrange_poly(x_specific);
newton_specific = newton_poly(x_specific);
y_specific = f(x_specific);
disp('Values at specific points:');
disp(['x=3.5: f(x) = ', num2str(y_specific(1)), ', Lagrange = ', num2str(lagrange_specific(1)), ', Newton = ', num2str(newton_specific(1))]);
disp(['x=4.5: f(x) = ', num2str(y_specific(2)), ', Lagrange = ', num2str(lagrange_specific(2)), ', Newton = ', num2str(newton_specific(2))]);

% Lagrange插值函数
function L = lagrangeInterpolation(x, y, xq)
    n = length(x);
    L = 0;
    for i = 1:n
        li = 1;
        for j = 1:n
            if j ~= i
                li = li * (xq - x(j)) / (x(i) - x(j));
            end
        end
        L = L + y(i) * li;
    end
end

% Newton插值函数
function N = newtonInterpolation(x, y, xq)
    n = length(x);
    divided_diff = dividedDifferences(x, y);
    N = divided_diff(1);
    prod = 1;
    for k = 1:n-1
        prod = prod .* (xq - x(1:k));
        N = N + divided_diff(k+1) * prod;
    end
end

% 计算差商
function dd = dividedDifferences(x, y)
    n = length(y);
    dd = zeros(n, n);
    dd(:,1) = y(:);
    for j = 2:n
        for i = 1:n-j+1
            dd(i,j) = (dd(i+1,j-1) - dd(i,j-1)) / (x(i+j-1) - x(i));
        end
    end
end

请确保在运行此代码之前，你的MATLAB环境是正确配置的，并且你已经安装了必要的工具箱和函数。此外，代码中的插值节点数`n`设置为99是为了包含区间端点`-5`和`5`。

对于函数 f ( x ) = 1 1 + x 2 在[-5,5]内取n=10, 按等距节点求n次lagrange插值多项式和newton插值多项式。 取100点，画出插值多项式和原函数的对比图。 并分别比较在x=3.5，x=4.5处的值。用matlab

对于函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，在区间 [-5, 5] 内，如果需要计算n=10次的Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，我们可以按照以下步骤操作：

1. **Lagrange插值多项式**:
- 首先，在给定的n=10个等间距点上（例如，通过 ` linspace(-5, 5, 11)` 得到），计算每个点的函数值 \( f_i = f(xi) \)。
- 然后，使用Lagrange公式构建插值多项式，其中每个项由各个节点对应的拉格朗日基函数组成。

2. **Newton插值多项式**:
- 同样在10个节点上计算函数值 \( f_i \)。
- 使用Newton插值公式（也称为 Neville's algorithm 或 divided differences），这是一种基于差分的递归算法。

3. **图形表示**:
- 在MATLAB中，可以使用`plot`函数绘制原函数曲线以及这两个插值多项式的曲线。
- 分别对x=3.5和x=4.5处的值进行计算，并使用`hold on`在同一图表上标记这些点。

% 假设你已经生成了等间距节点 xi 和对应函数值 yi
xi = linspace(-5, 5, 11);
yi = 1 ./ (1 + xi.^2);

% 计算Lagrange插值多项式 L(x)
L_poly = lagrange_interpolation(xi, yi);

% 计算Newton插值多项式 N(x)
N_poly = newton_interpolation(xi, yi);

% 绘制函数和插值结果
figure;
plot(xi, yi, 'o', 'MarkerSize', 8); % 原函数点
hold on;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Original Function and Interpolations');
plot(xi, L_poly, '-r', 'LineWidth', 1.5); % Lagrange插值线
plot(xi, N_poly, '-b', 'LineWidth', 1.5); % Newton插值线

% 对比特定点的值
x_eval = [3.5; 4.5];
L_val = L_poly(x_eval);
N_val = N_poly(x_eval);
text(x_eval, [L_val; N_val], {'L(3.5)', 'L(4.5)'}, 'HorizontalAlignment', 'center');

% 显示并保存图像
legend('Data Points', 'Lagrange', 'Newton');
saveas(gcf, 'interpolation_comparison.png');