给定数据表中newton插值多项式matlab代码,

时间: 2024-02-13 16:08:00 浏览: 77
以下是给定数据表中Newton插值多项式的Matlab代码: ```matlab % x和y表示数据表的x和y坐标 % xx表示需要进行插值的点 function [yy] = Newton_Interpolation(x,y,xx) n = length(x); F = zeros(n); F(:,1) = y'; for j=2:n for i=j:n F(i,j) = (F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); end end yy = F(1,1); for j=1:n-1 p = 1; for i=1:j p = p*(xx-x(i)); end yy = yy + F(j+1,j+1)*p; end ``` 其中,`x`和`y`分别表示数据表的x和y坐标,`xx`表示需要进行插值的点。函数`Newton_Interpolation`返回插值的结果`yy`。
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Newton 插值算法 matlab代码

Newton插值法是一种用于近似数据点之间函数的数学方法,它通过构建多项式来拟合给定的数据。在MATLAB中,可以使用`polyfit`函数结合`polyval`函数来实现。以下是简单的例子: ```matlab % 假设我们有以下数据点 (x, y) x = [1, 2, 3, 4]; y = [0, 1, 3, 6]; % 使用 polyfit 函数计算多项式的系数 p = polyfit(x, y, 3); % 我们选择3阶多项式(n=3) % 现在我们有了多项式的系数,可以创建一个新的x值范围来评估插值函数 new_x = linspace(min(x), max(x), 100); % 创建100个新的x值 % 使用 polyval 计算对应的新_y值 new_y = polyval(p, new_x); % 绘制原始数据和插值结果 plot(x, y, 'o', new_x, new_y, '-') xlabel('x') ylabel('y') title('Newton插值') ``` 在这个例子中,`polyfit`返回的是一个向量,包含从高次到低次的多项式系数。然后`polyval`会使用这些系数和指定的x值计算对应的y值。

对于函数1/(1+x^2) 在[-5,5]内,按等距节点求n次lagrange插值多项式和newton插值多项式。 取100点,画出插值多项式和原函数的对比图。 并分别比较在x=3.5,x=4.5处的值。 给出具体的matlab代码

首先,我们需要了解Lagrange插值多项式和Newton插值多项式的定义和计算方法。 Lagrange插值多项式的基本形式是: \[ L_n(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot l_i(x) \] 其中 \( l_i(x) \) 是Lagrange基多项式,定义为: \[ l_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \] \( x_i \) 是给定节点,\( y_i \) 是在 \( x_i \) 处的函数值。 Newton插值多项式则是: \[ N_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \cdots + a_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}) \] 其中 \( a_i \) 是差商,可以通过差商表计算得到。 对于函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \),我们可以在区间 \([-5,5]\) 上取等距节点进行插值。对于Lagrange和Newton插值多项式,我们需要分别计算出对应的插值多项式的系数,然后在MATLAB中画出插值多项式和原函数的图像,并计算特定点的函数值。 以下是一个MATLAB代码示例,用于计算和绘制Lagrange和Newton插值多项式以及比较特定点的值: ```matlab % 定义原函数 f = @(x) 1./(1+x.^2); % 定义区间和节点数 a = -5; b = 5; n = 99; % 插值节点数,加1是因为包括区间端点 x = linspace(a, b, n+1); y = f(x); % 使用Lagrange插值多项式 lagrange_poly = @(xq) lagrangeInterpolation(x, y, xq); lagrange_vals = lagrange_poly(linspace(a, b, 100)); % 使用Newton插值多项式 newton_poly = @(xq) newtonInterpolation(x, y, xq); newton_vals = newton_poly(linspace(a, b, 100)); % 绘制原函数和插值多项式 x_plot = linspace(a, b, 1000); y_plot = f(x_plot); figure; plot(x_plot, y_plot, 'k', 'LineWidth', 1.5); hold on; plot(x_plot, lagrange_vals, 'b--', 'LineWidth', 1.5); plot(x_plot, newton_vals, 'r-.', 'LineWidth', 1.5); legend('Original function', 'Lagrange polynomial', 'Newton polynomial'); title('Lagrange and Newton Interpolation'); hold off; % 计算特定点的值 x_specific = [3.5, 4.5]; lagrange_specific = lagrange_poly(x_specific); newton_specific = newton_poly(x_specific); y_specific = f(x_specific); disp('Values at specific points:'); disp(['x=3.5: f(x) = ', num2str(y_specific(1)), ', Lagrange = ', num2str(lagrange_specific(1)), ', Newton = ', num2str(newton_specific(1))]); disp(['x=4.5: f(x) = ', num2str(y_specific(2)), ', Lagrange = ', num2str(lagrange_specific(2)), ', Newton = ', num2str(newton_specific(2))]); % Lagrange插值函数 function L = lagrangeInterpolation(x, y, xq) n = length(x); L = 0; for i = 1:n li = 1; for j = 1:n if j ~= i li = li * (xq - x(j)) / (x(i) - x(j)); end end L = L + y(i) * li; end end % Newton插值函数 function N = newtonInterpolation(x, y, xq) n = length(x); divided_diff = dividedDifferences(x, y); N = divided_diff(1); prod = 1; for k = 1:n-1 prod = prod .* (xq - x(1:k)); N = N + divided_diff(k+1) * prod; end end % 计算差商 function dd = dividedDifferences(x, y) n = length(y); dd = zeros(n, n); dd(:,1) = y(:); for j = 2:n for i = 1:n-j+1 dd(i,j) = (dd(i+1,j-1) - dd(i,j-1)) / (x(i+j-1) - x(i)); end end end ``` 请确保在运行此代码之前,你的MATLAB环境是正确配置的,并且你已经安装了必要的工具箱和函数。此外,代码中的插值节点数`n`设置为99是为了包含区间端点`-5`和`5`。
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