对于函数 f ( x ) = 1 1 + x 2 在[-5,5]内取n=10, 按等距节点求n次lagrange插值多项式和newton插值多项式。 取100点，画出插值多项式和原函数的对比图。 并分别比较在x=3.5，x=4.5处的值。用matlab

对于函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，在区间 [-5, 5] 内，如果需要计算n=10次的Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，我们可以按照以下步骤操作：

1. **Lagrange插值多项式**:
- 首先，在给定的n=10个等间距点上（例如，通过 ` linspace(-5, 5, 11)` 得到），计算每个点的函数值 \( f_i = f(xi) \)。
- 然后，使用Lagrange公式构建插值多项式，其中每个项由各个节点对应的拉格朗日基函数组成。

2. **Newton插值多项式**:
- 同样在10个节点上计算函数值 \( f_i \)。
- 使用Newton插值公式（也称为 Neville's algorithm 或 divided differences），这是一种基于差分的递归算法。

3. **图形表示**:
- 在MATLAB中，可以使用`plot`函数绘制原函数曲线以及这两个插值多项式的曲线。
- 分别对x=3.5和x=4.5处的值进行计算，并使用`hold on`在同一图表上标记这些点。

% 假设你已经生成了等间距节点 xi 和对应函数值 yi
xi = linspace(-5, 5, 11);
yi = 1 ./ (1 + xi.^2);

% 计算Lagrange插值多项式 L(x)
L_poly = lagrange_interpolation(xi, yi);

% 计算Newton插值多项式 N(x)
N_poly = newton_interpolation(xi, yi);

% 绘制函数和插值结果
figure;
plot(xi, yi, 'o', 'MarkerSize', 8); % 原函数点
hold on;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Original Function and Interpolations');
plot(xi, L_poly, '-r', 'LineWidth', 1.5); % Lagrange插值线
plot(xi, N_poly, '-b', 'LineWidth', 1.5); % Newton插值线

% 对比特定点的值
x_eval = [3.5; 4.5];
L_val = L_poly(x_eval);
N_val = N_poly(x_eval);
text(x_eval, [L_val; N_val], {'L(3.5)', 'L(4.5)'}, 'HorizontalAlignment', 'center');

% 显示并保存图像
legend('Data Points', 'Lagrange', 'Newton');
saveas(gcf, 'interpolation_comparison.png');