例1：在区间[-1,1]上用等距节点对龙格函数\nf ( x ) = 1 ( 1 + 25 x 2 ) f(x)=\\frac{1}{(1+25x^2)}\nf(x)= \n(1+25x \n2\n )\n1\n​\t\n \n作

在区间[-1,1]上用等距节点对龙格函数进行插值，可以使用拉格朗日插值多项式来逼近该函数。拉格朗日插值多项式的表达式为：

P(x) = ∑(i=0 to n) f(xi) * Li(x)

其中，P(x)是插值多项式，f(xi)是函数在节点xi处的取值，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：

Li(x) = ∏(j=0 to n, j≠i) (x - xj) / (xi - xj)

通过计算，可以得到在区间[-1,1]上用等距节点对龙格函数进行插值的多项式。

相关问题

在区间-1:1上分别取n=10,n=20用两组等距节点对龙格函数做牛顿插值并画出插值函数图像及龙格函数图像用Matlab写出完整代码

在MATLAB中，你可以使用`polyfit`函数来进行牛顿插值，并结合`fplot`函数绘制插值函数和原函数的图像。这里是一个基本步骤的示例代码：

首先，我们需要创建两个数组，一个代表区间内的等距节点，另一个存储对应每个节点的函数值（在这个例子中，我们将使用龙格函数，它是一个简单的周期函数作为演示）。龙格函数通常表示为 `x - sin(x)`。

% 定义区间和节点数
a = -1;
b = 1;
n1 = 10; % 对于n=10的节点
n2 = 20; % 对于n=20的节点

% 创建等距节点
x = linspace(a, b, n1);
y1 = x - sin(x); % 龙格函数值 (n=10)

x2 = linspace(a, b, n2);
y2 = x2 - sin(x2); % 龙格函数值 (n=20)

% 牛顿插值
p1 = polyfit(x, y1, n1-1); % 插值多项式 (n=10)
p2 = polyfit(x2, y2, n2-1); % 插值多项式 (n=20)

% 绘制原始函数和插值函数图
figure;
subplot(1, 2, 1)
hold on
fplot(@(x) x - sin(x), [a, b], 'LineWidth', 1.5) % 龙格函数
grid on
title('Original Function for n=10 and n=20')
plot(x, y1, 'o') % 节点标记
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
hold off

subplot(1, 2, 2)
fplot(@(x) polyval(p1, x), [a, b], 'r', 'LineWidth', 1.5) % 插值后的函数 (n=10)
hold on
fplot(@(x) polyval(p2, x), [a, b], 'g', 'LineWidth', 1.5) % 插值后的函数 (n=20)
grid on
title(['Interpolated Functions (n=10 and n=20)'])
xlabel('x');
legend('Original', 'n=10', 'n=20');

% 显示和保存图形
print(gcf, '-dpng', ['interpolation_n10_n20_' num2str(n1) '_' num2str(n2) '.png']);

这个代码会生成两个图像，一个是龙格函数，另一个是对应的牛顿插值结果。注意，牛顿插值适用于光滑函数，对于不连续或振荡频繁的函数，插值效果可能会变差。

在区间-1:1上分别取n=10,n=20用两组等距节点对龙格函数做多项式插值并画出插值函数图像及龙格函数图像用Matlab写出完整代码

在MATLAB中，你可以使用`polyfit`函数进行多项式插值，并结合`fplot`绘制插值函数和原函数图像。这里是一个简单的示例，展示如何在区间`[-1, 1]`上分别取`n=10`和`n=20`的等距节点对龙格函数（也就是正弦函数sin(x)）进行插值：

% 定义节点范围和步长
x = linspace(-1, 1, n); % 等距节点

% 龙格函数
function y = lagrange(x, x_data)
    N = length(x_data);
    y = zeros(size(x));
    for i = 1:N
        p = ones(N, 1);
        for j = 1:N
            if i ~= j
                p(j) = (x - x_data(j));
            end
        end
        y = y + p(i) * y_data(i);
    end
end

% 龙格函数数据
y_data = sin(x);

% 对于n=10和n=20分别做插值
p10 = polyfit(x, y_data, n-1); % 根据n计算阶数
y_interp_10 = lagrange(x, x); % 使用龙格公式计算插值值

p20 = polyfit(x, y_data, n-1); % 同样计算阶数
y_interp_20 = lagrange(x, x); % 为n=20做插值

% 绘制原始函数、插值函数和误差图
figure;
subplot(2, 1, 1);
hold on;
plot(x, y_data, 'b', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Original Function (sin(x))');
plot(x, y_interp_10, 'r--', 'DisplayName', 'Interpolated (n=10)');
plot(x, y_interp_20, 'g:', 'DisplayName', 'Interpolated (n=20)');
legend('show');
title(['n = 10 and 20 Polynomial Interpolation of Sin(x)']);

subplot(2, 1, 2);
error = abs(y_data - y_interp_10);
plot(x, error, 'r--', 'DisplayName', 'Error (n=10)');
xlabel('x');
ylabel('Error');
hold off;

% 显示图形
grid on;

这会生成两个子图，第一个显示了10个和20个节点的插值结果，第二个展示了每个插值函数相对于原函数的误差。