设f(x)=1/(1+25x^2),-1<=x<=1,取节点xj=-1+2j/n，j=0,1,...,n，取n=20，写一段matlab代码，求出分段线性插值函数I1^h(x)

为了实现分段线性插值函数 \( I_1^h(x) \)，我们首先按照给定的节点 \( x_j = -1 + \frac{2j}{n} \)，其中 \( j = 0, 1, ..., n \) 和 \( n = 20 \) 来计算各个节点的函数值。这里我们可以使用MATLAB的基本功能进行计算。以下是一个简单的示例代码：

% 定义节点范围和数量
n = 20;
x = -1 + (0:n)/(n-1); % 节点位置

% 计算函数值 f(x)
f_values = 1 ./ (1 + 25*x.^2);

% 分段线性插值函数 I1^h(x)
function I1_h = linear_interpolation(x, f_values)
    I1_h = interp1(x(1:end-1), f_values(1:end-1), x, 'linear');
end

% 使用分段线性插值函数
x_evaluated = linspace(-1, 1, 100); % 评估插值函数在更细的网格上
I1_h = linear_interpolation(x_evaluated, f_values);
plot(x, f_values, 'r', x_evaluated, I1_h, 'b')
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('分段线性插值函数 I1^h(x) 对 f(x) = 1/(1+25x^2) 的近似')
legend('原始函数', '分段线性插值')

这段代码定义了一个分段线性插值函数 `linear_interpolation`，并利用 `interp1` 函数在给定的节点间进行线性插值。结果会显示为一条蓝色的曲线，表示分段线性插值的结果。