MATLAB解答：设 f(x)=1/(1+x^2), 在 [-5,5] 上取 n=10, 按等距节点求分段线性插值-|||-函数In(x).要求(1)在同一图中画出函数f(x)和In(x)的图像;(2)计算各节点中-|||-点处的Ih(x)和f(x)的值,并估计误差(列表给出).

在MATLAB中，你可以按照以下步骤来完成这个任务：

1. **定义函数f(x)**：首先，我们需要定义分母为1加上x平方的函数f(x)。

function y = my_function(x)
    y = 1./(1 + x.^2);
end

2. **创建等间距节点**：由于n=10，我们会在[-5,5]上创建10个等间距的节点。使用`linspace`函数。

x_nodes = linspace(-5, 5, 11); % 加上端点，共11个点
y_nodes = my_function(x_nodes); % 计算每个节点的f(x)值

3. **计算插值函数In(x)**：使用`interp1`函数对f(x)进行线性插值，得到插值后的函数In(x)。

% In(x)的计算
x_interp = -5:0.1:5; % 创建插值点
y_interp = interp1(x_nodes, y_nodes, x_interp, 'linear', 'spline'); % 使用'spline'选项确保平滑过渡

4. **绘制图形**：使用`plot`函数同时绘制f(x)和In(x)。

figure;
hold on;
plot(x_nodes, y_nodes, 'o', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'f(x)');
plot(x_interp, y_interp, '-r', 'DisplayName', 'In(x)');
hold off;
legend('show');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Function f(x) and its Interpolation');

5. **计算并估计误差**：在每个节点及插值点处，比较f(x)和In(x)的值，并计算相对误差。假设误差是通过公式 `(|In(x) - f(x)| / max(|f(x)|, |In(x)|)) * 100` 计算的。

node_errors = abs(y_interp - y_nodes)./max(abs(y_nodes), abs(y_interp));
node_error_values = node_errors';
interpolation_errors = abs(y_interp - my_function(x_interp))./max(abs(my_function(x_interp)), abs(y_interp));

6. **显示误差列表**：最后，将误差值作为表格显示出来。

disp('Node Errors:');
fprintf('Node\t\tError\n');
for i = 1:length(node_error_values)
    fprintf('%d\t\t%.4f%%\n', i, node_error_values(i)*100);
end

disp('\nInterpolation Errors:');
fprintf('Interpolation Point\tError\n');
for i = 1:length(interpolation_errors)
    fprintf('%f\t\t%.4f%%\n', x_interp(i), interpolation_errors(i)*100);
end

完成后，你会看到两幅图，以及每个节点和插值点处的误差估算。