动态规划完全背包时间复杂度证明

动态规划完全背包问题的时间复杂度通常为O(nW)，其中n是物品的数量，W是背包的容量。这个问题的解决方案是基于动态规划中的“最值”概念，即通过建立一个二维数组dp[i][j]来表示在前i个物品中选择总和不超过j的情况下，能够获得的最大价值。

具体来说，动态规划的状态转移方程是：
\[ dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i) \]
其中，\( v_i \) 是第i个物品的价值，\( w_i \) 是第i个物品的重量，\( dp[i-1][j] \) 表示不选第i个物品时的情况，\( dp[i-1][j-w_i] + v_i \) 表示选择第i个物品时的情况。

这个过程从dp开始，逐步填充数组，最后dp[n][W]就是问题的答案。因为每个状态只依赖于前一状态，所以这个算法的每一行只需要遍历一次，共n行，每行又最多遍历W次，因此总的时间复杂度是O(nW)。

相关问题

若在0-1背包问题中，各物品依重量递增排列时，其价值恰好依递减序排列。对这个特殊0-1背包问题设计一个有效算法找出最优解，并说明算法的正确性，分析算法的时间复杂度。用java语言输出该算法

对于这种特殊类型的0-1背包问题，由于物品的价值和重量都按照相反的顺序排列，我们可以采用贪心策略来找到最优解。算法的基本思想是从重量最大（价值最小）的物品开始考虑，如果当前背包容量足够装下这个物品，我们就会选择它，因为它的单位重量价值最高；如果容量不够，我们就跳过它。

**算法步骤：**
1. 初始化：设定背包容量`W`，物品列表按重量降序排序，创建一个空的结果数组`bestValue[]`记录每个重量下的最优价值。
2. 遍历物品列表：从最后一个物品开始，对于每个物品，检查是否可以完全放入背包，若能，则更新`bestValue`数组，将剩余背包容量下的最大价值加上当前物品的价值。
3. 返回结果：`bestValue[W]`即为最优解。

**算法正确性证明：**
由于每次我们都选择了单位重量价值最高的物品，直到达到背包容量为止，所以不会错过其他更优的选择。这是因为一旦有更高单位重量价值的物品，它们会早于低价值的物品出现在列表中。

**时间复杂度分析：**
- 初始排序的时间复杂度是O(n log n)，其中n是物品的数量。
- 遍历物品列表的时间复杂度是O(n)，因为我们只遍历一次。
- 更新`bestValue`数组的时间复杂度也是O(n)。

综上所述，总时间复杂度是O(n log n + n) = O(n log n)。

**Java代码示例：**

import java.util.Arrays;

public class KnapsackOptimal {
    public static int knapSack(int W, int[] wt, int[] val, int n) {
        // 物品按权重降序排序
        Arrays.sort(Arrays.asList(zip(wt, val)), (a, b) -> b[0] - a[0]);

        int[] bestValue = new int[n+1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            bestValue[i] = 0;
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (wt[i-1] <= W) { // 如果当前物品能装入背包
                bestValue[i] = Math.max(val[i-1] + bestValue[i-wt[i-1]], bestValue[i-1]); // 更新最优值
                W -= wt[i-1]; // 减去当前物品的重量
            }
        }
        return bestValue[n];
    }

    private static int[] zip(int[] wt, int[] val) {
        int n = wt.length;
        int[] result = new int[n*2];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            result[i] = wt[i];
            result[n+i] = val[i];
        }
        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int W = 50, n = 4;
        int[] wt = {10, 20, 30};
        int[] val = {60, 100, 120};

        System.out.println("最优解: " + knapSack(W, wt, val, n));
    }
}

在这个代码中，`knapSack`函数实现了上述的算法，`zip`函数用于合并重量和价值数组以便排序。