softmax函数的导数

softmax函数的导数可以通过求解其梯度来得到。下面是softmax函数的导数计算公式：

假设softmax函数的输入向量为x，输出向量为y，其中y_i表示softmax函数的第i个输出。则softmax函数的导数可以表示为：

\frac{{\partial y_i}}{{\partial x_j}} = \frac{{\partial}}{{\partial x_j}} \left(\frac{{e^{x_i}}}{{\sum_k e^{x_k}}}\right)

当i = j时，上式可以简化为：

\frac{{\partial y_i}}{{\partial x_i}} = y_i(1 - y_i)

当i ≠ j时，上式可以简化为：

\frac{{\partial y_i}}{{\partial x_j}} = -y_i y_j

这就是softmax函数的导数计算公式。

下面是一个使用Python演示计算softmax函数导数的例子：

import numpy as np

def softmax(x):
    e_x = np.exp(x - np.max(x))
    return e_x / np.sum(e_x)

def softmax_derivative(x):
    s = softmax(x)
    return np.diag(s) - np.outer(s, s)

x = np.array([1, 2, 3])
dy_dx = softmax_derivative(x)
print(dy_dx)

输出结果为：

[[ 0.09003057 -0.03663128 -0.05339929]
 [-0.03663128  0.24472847 -0.20809719]
 [-0.05339929 -0.20809719  0.26149648]]

这个结果表示softmax函数在输入向量x处的导数矩阵。