softmax函数求导

为了回答你的问题，我将引用、和的内容。softmax函数的求导可以通过链式法则进行计算。首先，我们需要知道softmax函数的定义是:

softmax(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}}

其中，z_i是第i个输出节点的值，n是输出节点的个数。softmax函数的目的是将多分类的输出值转换为[0, 1]范围内且和为1的概率分布。

现在我们来计算softmax函数的导数。假设我们要计算对第k个输出节点的导数，即 \frac{\partial softmax}{\partial z_k}。根据链式法则，我们可以得到如下结果:

\frac{\partial softmax}{\partial z_k} = \frac{\partial}{\partial z_k} \left( \frac{e^{z_k}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}} \right)

为了简化计算，我们先计算分子部分 e^{z_k} 的导数。根据指数函数的导数公式，我们有:

\frac{\partial}{\partial z_k} e^{z_k} = e^{z_k}

接下来，我们计算分母部分 \sum^n_{j=1}e^{z_j} 的导数。由于该部分对所有的 z_i 都有贡献，我们需要对每个 z_i 求导并求和。根据中提到的原因，我们需要对所有的输出节点 S 进行求导。因此，我们有:

\frac{\partial}{\partial z_k} \left( \sum^n_{j=1}e^{z_j} \right) = \sum^n_{j=1} \frac{\partial}{\partial z_k} e^{z_j} = \sum^n_{j=1} e^{z_j}

将分子和分母的导数结果带入到 softmax 函数的导数公式中，我们可以得到:

\frac{\partial softmax}{\partial z_k} = \frac{e^{z_k}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}} - \frac{e^{z_k}}{\left( \sum^n_{j=1}e^{z_j} \right)^2} \sum^n_{j=1} e^{z_j}

简化这个表达式我们有:

\frac{\partial softmax}{\partial z_k} = \frac{e^{z_k}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}} \left( 1 - \frac{e^{z_k}}{\sum^n_{j=1}e^{z_j}} \right)

这就是 softmax 函数对第 k 个输出节点的导数表达式。通过这个导数表达式，我们可以计算 softmax 函数在神经网络中的反向传播过程中的梯度。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *3* [softmax及其求导过程](https://blog.csdn.net/u014453898/article/details/108435173)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* [softmax及函数求导](https://blog.csdn.net/qq_41357569/article/details/120410841)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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