softmax函数的推导

softmax函数的推导如下所示：

假设有一个具有n个类别的分类任务，softmax函数可以将n个输入值转化为n个概率值，表示每个类别被选择的概率。

首先，我们定义softmax函数的输入为向量z = [z1, z2, ..., zn]，其中zi表示第i个类别的输入值。

softmax函数的定义如下：

softmax(z) = [e^z1 / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn), e^z2 / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn), ..., e^zn / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn)]

为了推导softmax函数的导数，我们首先计算softmax函数的输出值。

softmax函数的输出值为：

softmax(z) = [p1, p2, ..., pn]

其中pi表示第i个类别被选择的概率。

接下来，我们需要计算softmax函数对输入向量z的导数。

根据链式法则，softmax函数对输入向量z的导数可以表示为：

dsoftmax(z) / dz = [dp1 / dz1, dp2 / dz2, ..., dpn / dzn]

我们可以通过对softmax函数的输出值pi求导来计算dsoftmax(z) / dz。

根据softmax函数的定义，我们可以将pi表示为：

pi = e^zi / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn)

对pi求导，可以得到：

dpi / dzi = (e^zi * (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn) - e^zi * e^zi) / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn)^2
          = e^zi / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn) - (e^zi / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn))^2
          = pi - pi^2
          = pi * (1 - pi)

因此，softmax函数对输入向量z的导数可以表示为：

dsoftmax(z) / dz = [p1 * (1 - p1), p2 * (1 - p2), ..., pn * (1 - pn)]

这样，我们就推导出了softmax函数的导数。