用程序求解不定方程3x+7y=67的正整数解

为了找到不定方程 \(3x + 7y = 67\) 的正整数解，我们可以使用穷举法，从最小的正整数值开始逐步增加 \(x\) 和 \(y\)，直到它们乘积之和等于67为止。由于 \(3\) 和 \(7\) 互质（即最大公约数为1），每个 \(x\) 都有一个对应的唯一 \(y\)（反之亦然），因为如果存在更小的 \(y\) 使得 \(3x + 7y\) 达到67，则更大的 \(y\) 也一定会这样做。

我们可以编写一个简单的循环来搜索解决方案：

def find_solutions(n):
    solutions = []
    for x in range(1, n // 3 + 1):  # 因为3x的最大值小于n，所以x范围到n//3
        y = (n - 3 * x) // 7  # 计算y的值
        if x > 0 and y > 0:  # 确保x和y都是正整数
            solutions.append((x, y))
    return solutions

solutions = find_solutions(67)
print("不定方程 3x + 7y = 67 的正整数解为：", solutions)

相关问题

求解233x+1559173440y=1 要求x为正整数y为整数

我们可以使用扩展欧几里得算法来求解此问题。该算法可以在求解形如 $ax+by=gcd(a,b)$ 的不定方程时使用。

我们将该方程变形为 $233x = 1 - 1559173440y$，然后将其转化为形如 $ax+by=gcd(a,b)$ 的不定方程。令 $a=233$，$b=1559173440$，则有：

$$
\begin{aligned}
gcd(233, 1559173440) &= gcd(233, 1559173440 \bmod 233) \\
&= gcd(233, 39) \\
&= gcd(39, 233 \bmod 39) \\
&= gcd(39, 17) \\
&= gcd(17, 39 \bmod 17) \\
&= gcd(17, 5) \\
&= gcd(5, 17 \bmod 5) \\
&= gcd(5, 2) \\
&= gcd(2, 5 \bmod 2) \\
&= gcd(2, 1) \\
&= 1
\end{aligned}
$$

因此 $233$ 和 $1559173440$ 互质，即 $gcd(233,1559173440)=1$。根据扩展欧几里得算法，我们可以求出 $233x+1559173440y=1$ 的一组解 $(x_0,y_0)$。

具体来说，我们可以从最后一个等式 $2\times1+5\times(-2)=1$ 开始，依次向前计算，得到：

$$
\begin{aligned}
1 &= 2\times1+5\times(-2) \\
&= 17\times(-2)+39\times5 \\
&= 39\times5+233\times(-1)
\end{aligned}
$$

因此，$(x_0,y_0)=(-1,5)$ 是 $233x+1559173440y=1$ 的一组解。

注意到 $233$ 是正整数，因此我们需要找到一组解 $(x,y)$，使得 $x>0$。由于 $233$ 和 $1559173440$ 互质，我们可以得到另一组解 $(x_1,y_1)$，满足 $x_1=x_0+k\times b$，$y_1=y_0-k\times a$，其中 $k$ 是任意整数，$a=233$，$b=1559173440$。

我们可以将 $k$ 从 $1$ 开始依次增加，计算出一组组解 $(x_k,y_k)$，直到 $x_k>0$。具体来说，我们有：

$$
\begin{aligned}
x_1 &= x_0+b = -1+1559173440 = 1559173439 \\
y_1 &= y_0-a = 5-233 = -228 \\
x_2 &= x_1+b = 1559173439+1559173440 = 3118346879 \\
y_2 &= y_1-a = -228-233 = -461 \\
\cdots \\
x_{6721925} &= x_{6721924}+b = 1559173440\times 6721925 = 10493481709600 \\
y_{6721925} &= y_{6721924}-a = -233\times 6721925 = -1565426925 \\
\end{aligned}
$$

因此，$(x,y)=(10493481709600,-1565426925)$ 是满足要求的一组解。

c++给定正整数a，b，c。求不定方程ax+by=c关于未知数x和y的所有非负整数解。

在C++中，求解形如ax + by = c 的不定方程的所有非负整数解是一个经典的数学问题，通常通过扩展欧几里得算法（也称为中国剩余定理的一种特殊情况）来解决。这个算法会返回最大公约数以及一组系数，使得a * x + b * y = gcd(a, b)，然后可以将gcd替换为c来找到原方程的解。

以下是基本步骤：

1. 计算a和b的最大公约数(gcd)，记为d。
2. 如果d不等于c，那么方程无非负整数解，因为gcd(a, b) | a和gcd(a, b) | b，所以它也应该|c，这意味着c不能被d整除。
3. 否则，我们有x = (c - bi) / a 和 y = i，其中i是从0到gcd/a的所有整数。为了得到所有非负解，我们需要检查每个i值是否满足条件x和y是非负的。

下面是一个简单的伪代码示例：

int extendedEuclidean(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = extendedEuclidean(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return gcd;
}

vector<pair<int, int>> solveEquation(int a, int b, int c) {
    int x, y, d = extendedEuclidean(a, b, x, y);
    if(d != c) return {}; // 没有非负解

    vector<pair<int, int>> solutions;
    for(int i = 0; i * a <= c && i >= 0; ++i) {
        int tempY = y - (c - i * a) / b;
        if(tempY >= 0 && tempY * b == c - i * a) {
            solutions.push_back({i, tempY});
        }
    }
    return solutions;
}