为什么说本原多项式与本原多项式相伴

本原多项式与本原多项式相伴是因为它们有相同的根和相同的次数。具体来说，如果一个本原多项式 $f(x)$ 在 $\mathbb{Z}_p[x]$ 上是不可约的，那么另一个本原多项式 $g(x)$ 也是在 $\mathbb{Z}_p[x]$ 上不可约的，并且它们有相同的次数和根的集合。此外，它们还满足以下关系：$f(x) \equiv \lambda g(x) \pmod{p}$，其中 $\lambda$ 是一个整数，同时 $\gcd(\lambda,p)=1$。因此，我们可以说 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是相伴的。

相关问题

本原多项式是什么意思

本原多项式是在有限域上的一种特殊的不可约多项式，它在密码学中有着广泛的应用。在有限域GF(q)上，本原多项式是一个次数为q的不可约多项式，且它的根可以生成GF(q)的所有元素。本原多项式在密码学中的应用主要是在分组密码和流密码中，例如AES和RC4加密算法。在AES中，本原多项式用于生成S盒和密钥扩展，而在RC4中，本原多项式用于生成伪随机序列。

本原多项式 移位寄存器

### 本原多项式在移位寄存器中的应用

#### 移位寄存器的工作原理及其重要性
移位寄存器是一种用于存储数据并按顺序移动这些数据的数据结构。在线性反馈移位寄存器（LFSR）中，通过特定的反馈机制可以生成伪随机数列。这类序列具有良好的统计特性，在通信、密码学等领域有着广泛应用。

对于基于有限域 \( GF(2) \)[^1] 的 LFSR 来说，其状态更新依赖于初始填充以及所选的特征多项式——即所谓的“连接多项式”。如果这个多项式是本原多项式，则对应的 LFSR 可以产生最大长度周期的输出序列，这样的序列被称为 m 序列 (maximum-length sequence)，它拥有非常好的自相关性和互相关性质[^2]。

#### 本原多项式的定义与特点
在一个给定阶数 n 下，\( GF(2^n) \) 上的一个不可约多项式 P(x) 如果能使得最小正整数 k 满足条件 \( x^k ≡ 1 (\text{mod }P(x))\) 中的最大可能值为 \( 2^n - 1 \)，则该多项式称为本原多项式。这意味着由这种类型的多项式驱动下的 LFSR 能够遍历除全零外的所有状态一次且仅一次，从而形成一个完整的循环。

#### 实现原理
为了利用本原多项式来构建高效的 LFSR：

- **初始化**：设置合适的起始向量作为输入；

- **迭代过程**：每次操作都将当前的内容右移一位，并根据选定的本原多项式计算新加入最左侧位置比特值的方法；具体来说，这涉及到对某些固定位置上的现有比特执行 XOR 运算的结果被送入新的最高有效位处。

下面给出一段简单的 MATLAB 代码片段展示如何使用指定的本原多项式创建 LFSR 并获取产生的二进制序列:

function seq =-lfsr(primitivePoly, initVector)
    % primitivePoly 是表示本原多项式的十进制数形式
    % initVector 是初始状态向量
    
    N = length(initVector); % 获取移位寄存器宽度
    feedbackTaps = dec2bin(primitivePoly,N)-'0';% 将本原多项式转成二进制数组
    state = flipud(initVector'); % 初始化状态
    seq = zeros(size(state)); % 预分配空间保存输出序列
    
    for i=1:length(seq)
        outputBit = mod(sum(bitand(feedbackTaps,state)),2);
        seq(i)=outputBit;
        
        % 更新状态
        newState=zeros(N,1);
        newState(2:end)=state(1:N-1);
        newState(1)=outputBit;
        state=newState;
    end
end

此函数接受两个参数：一个是代表本原多项式的十进制数值 `primitivePoly` ，另一个是用来设定初态的逻辑向量 `initVector` 。返回值是一个包含整个周期内所有输出位组成的行向量 `seq` 。