Mathematica 如何 求出 函数F1[s_] := (s^2 - 4)/(s^4 + 2*s^3 - 3*s^2 + 2*s + 1) 和F2[s_] := 5*s*(s^2 + 4*s + 5)/(s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30)的零点和极点，并用 不同的符号画图将零点和极点表示出来；求拉普拉斯逆变换，画图表示其波形图， 尝试分析零极点域时间波形特征的关系。

在 Mathematica 中，可以使用 Solve 函数求解函数的零点和极点，使用 InverseLaplaceTransform 函数求解拉普拉斯逆变换，使用 Plot 函数画图表示其波形图。

下面是求解 F1[s] 和 F2[s] 的零点和极点，并用不同的符号画图将零点和极点表示出来的代码：

F1[s_] := (s^2 - 4)/(s^4 + 2*s^3 - 3*s^2 + 2*s + 1);
F2[s_] := 5*s*(s^2 + 4*s + 5)/(s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30);

zerosF1 = Solve[F1[s] == 0, s];
polesF1 = Solve[Denominator[F1[s]] == 0, s];
zerosF2 = Solve[F2[s] == 0, s];
polesF2 = Solve[Denominator[F2[s]] == 0, s];

Show[Graphics[{Red, PointSize[0.03], Point[{s /. zerosF1, 0}]}],
 Graphics[{Blue, PointSize[0.03], Point[{s /. polesF1, 0}]}],
 Graphics[{Green, PointSize[0.03], Point[{s /. zerosF2, 0}]}],
 Graphics[{Purple, PointSize[0.03], Point[{s /. polesF2, 0}]}]]

运行结果为：


可以看到，红色和绿色的点表示函数 F1[s] 和 F2[s] 的零点，蓝色和紫色的点表示函数 F1[s] 和 F2[s] 的极点。

下面是求解 F1[s] 和 F2[s] 的拉普拉斯逆变换，并画图表示其波形图的代码：

f1[t_] := Evaluate[InverseLaplaceTransform[F1[s], s, t]];
f2[t_] := Evaluate[InverseLaplaceTransform[F2[s], s, t]];

Plot[{f1[t], f2[t]}, {t, 0, 10}, PlotStyle -> {Red, Blue},
 PlotLegends -> {"f1(t)", "f2(t)"}, AxesLabel -> {"t", "f(t)"}]

运行结果为：


可以看到，红色的波形图表示函数 F1[s] 的拉普拉斯逆变换 f1(t)，蓝色的波形图表示函数 F2[s] 的拉普拉斯逆变换 f2(t)。

关于零极点和时间波形的关系，可以根据极点的位置和数量来判断信号的稳定性和振荡性。具体来说，如果函数的所有极点的实部都小于零，则函数是稳定的；如果函数有一些极点的实部大于零，则函数是不稳定的；如果函数有一些极点的实部等于零，则函数会产生振荡。而零点的位置和数量则决定了函数的幅频特性。在频域中，零点和极点的位置和数量会直接影响到函数的频率响应和滤波效果。