用一段代码给定一棵树,树根为 1,每个点的点权为 Vi 。 你需要找出若干个点 Pi,使得: 1. 每两个点 Px Py 互不相邻; 2. 每两个点 Px Py 与树根的距离互不相同; 3. 找出的点的点权之和尽可能大。 请输出找到的这些点的点权和的最大值。
时间: 2024-05-21 18:13:09 浏览: 94
您好,这是一道经典的树形 DP 问题,可以按照以下步骤来解决:
1. 对于每个节点,分别计算选它和不选它时子树内能够得到的最大值。设 f(i,1) 表示选择第 i 个节点时其子树内能够得到的最大值,f(i,0) 表示不选择第 i 个节点时其子树内能够得到的最大值。则有以下递推式:
f(i,1) = Vi + ∑f(j,0),其中 j 是 i 的每个子节点;
f(i,0) = ∑max(f(j,0), f(j,1)),其中 j 是 i 的每个子节点。
2. 根据上述递推式,从根节点开始逆推,计算每个节点选或不选的最大值(即 f(i,0) 和 f(i,1) 中的较大值),直到递推到根节点为止。
3. 最后根据根节点选或不选的最大值(即 f(1,0) 和 f(1,1) 中的较大值),即可得到最大点权和。
下面是该问题的代码实现:
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用一段python代码给定一棵树,树根为 1,每个点的点权为 Vi 。 你需要找出若干个点 Pi,使得: 1. 每两个点 Px Py 互不相邻; 2. 每两个点 Px Py 与树根的距离互不相同; 3. 找出的点的点权之和尽可能大。 请输出找到的这些点的点权和的最大值
可以使用动态规划来解决这个问题。设 f(i,0) 表示在以 i 为根的子树中,不选 i 的情况下,其他符合要求的点的最大点权和;f(i,1) 表示在以 i 为根的子树中,选了 i 的情况下,其他符合要求的点的最大点权和。则有如下转移方程:
f(i,0) = sum(max(f(j,0),f(j,1))),其中 j 是 i 的儿子节点
f(i,1) = Vi + sum(f(j,0)),其中 j 是 i 的孙子节点
最终的答案为 max(f(1,0), f(1,1)),即以根节点为起点的结果。
下面是代码实现:
```python
n = int(input())
val = list(map(int, input().split()))
head = [0] * (n + 1)
edge = []
idx = 0
for i in range(1, n):
u, v = map(int, input().split())
edge.append((v, head[u]))
head[u] = idx
idx += 1
edge.append((u, head[v]))
head[v] = idx
idx += 1
f = [[0] * 2 for _ in range(n + 1)]
def dfs(u, fa):
f[u][1] = val[u-1]
for i in range(head[u]):
v = edge[head[u]+i][0]
if v == fa:
continue
dfs(v, u)
f[u][1] += f[v][0]
f[u][0] += max(f[v][0], f[v][1])
return
dfs(1, 0)
print(max(f[1][0], f[1][1]))
```
题目描述 给定一棵树,树根为 1,每个点的点权为 Vi 。 你需要找出若干个点 Pi,使得: 1. 每两个点 Px Py 互不相邻; 2. 每两个点 Px Py 与树根的距离互不相同; 3. 找出的点的点权之和尽可能大。 请输出找到的这些点的点权和的最大值。 输入格式 输入的第一行包含一个整数 n 。 第二行包含 n − 1 个整数 Fi ,相邻整数之间使用一个空格分隔,分别表示 第 2 至 n 个结点的父结点编号。 第三行包含 n 个整数 Vi,相邻整数之间使用一个空格分隔,分别表示每个结点的点权。 输出格式 输出一行包含一个整数表示答案。
这是一道经典的树形 DP 题目,可以使用树形背包算法解决。具体来说,我们可以设计一个状态 f[i][j],表示在以 i 为根的子树中,选取若干个点,它们的点权之和为 j 时,能够达到的最大距离(其中距离指的是选取的点到根结点的距离)。对于每个结点 i,我们可以考虑两种情况:
1.不选 i 结点,此时 f[i][j] 的值等于以 i 的每个儿子结点为根结点的子树中能够选出点权之和为 j 的最大距离;
2.选 i 结点,此时 f[i][j] 的值等于以 i 的每个儿子结点为根结点的子树中能够选出点权之和为 j-v[i] 的最大距离加上 v[i],其中 v[i] 表示 i 结点的点权。
最终的答案为 f[1][j] 中最大的满足 j≤n 的值 j。
时间复杂度
树形背包算法的时间复杂度为 O(n^2),其中 n 是树中结点的个数。
参考代码
下面的代码中,dp[i][j] 表示在以 i 为根的子树中,选取若干个点,它们的点权之和为 j 时,能够达到的最大距离。代码中的 dfs 函数用于计算以 i 为根的子树的 dp 值,其中 u 表示当前处理的儿子结点编号。
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