机器学习逻辑回归代价函数

逻辑回归的代价函数是通过最大似然估计来计算的。在二分类问题中，假设有一个训练样本集合{(x^1, y^1), (x^2, y^2), ..., (x^m, y^m)}，其中x^i表示输入特征，y^i表示对应的标签（0或1）。假设样本的输出标签y^i服从伯努利分布，可以使用sigmoid函数来建模分类器的输出概率。逻辑回归的代价函数可以表示为：

J(θ) = -(1/m) * Σ [y^i * log(hθ(x^i)) + (1 - y^i) * log(1 - hθ(x^i))]

其中，hθ(x^i)是通过sigmoid函数计算得到的预测概率，在二分类中为hθ(x^i) = 1 / (1 + e^(-θ^T * x^i))。

这个代价函数可以帮助我们衡量预测结果与实际标签之间的差异，并通过最小化代价函数来拟合最优的参数θ，使得模型的预测结果更接近实际标签。

相关问题

牛顿迭代法计算逻辑回归损失函数

牛顿迭代法是一种优化算法，常用于求解非线性方程组，包括在机器学习中最小化损失函数的过程，如逻辑回归的代价函数。逻辑回归的损失函数通常是交叉熵损失，对于单个样本 \( (x_i, y_i) \)，其损失可以表示为：

\[ J(\theta) = -y_i \ln(h_\theta(x_i)) - (1-y_i) \ln(1-h_\theta(x_i)) \]

其中 \( h_\theta(x) \) 表示模型预测的概率，通常是一个sigmoid函数 \( \sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \)，\( z = \theta^T x \)。

为了使用牛顿迭代法，我们需要对损失函数关于参数 \( \theta \) 的梯度和Hessian矩阵（二阶导数）进行计算。初始迭代时，我们假设 \( \theta_0 \) 为初始值，然后按照以下步骤更新参数：

1. 计算梯度 \( g = \nabla J(\theta) \)，它表示损失函数对每个参数的偏导数之和。
2. 计算Hessian矩阵 \( H = \frac{\partial^2 J}{\partial \theta^2} \) 或近似它，这一步通常在实际应用中通过动量法、批量或随机梯度下降的二阶泰勒展开来简化。
3. 执行牛顿步：\( \theta_{t+1} = \theta_t - H^{-1}g \)，即使用负Hessian的逆作为方向并乘以梯度的大小进行调整。

这个过程会不断迭代直到达到预设的停止条件，比如达到最大迭代次数，或梯度变化小于某个阈值。注意，由于Hessian计算复杂，实际应用中往往采用更简单的优化方法，例如L-BFGS（Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）或 conjugate gradient 等。

机器学习二分类逻辑回归

机器学习中的二分类逻辑回归是一种用于解决二分类问题的算法。它的基本思路是通过构建一个逻辑回归模型，将输入的特征映射到一个概率值，然后根据这个概率值进行分类。

逻辑回归使用sigmoid函数来处理hθ(x)，这是因为sigmoid函数的取值范围在0到1之间，可以将线性回归的输出转化为一个概率值。通过sigmoid函数处理后，我们可以将概率值大于等于0.5的样本划分为正类，概率值小于0.5的样本划分为负类。这使得逻辑回归可以用于二分类问题。

代价函数的推导和偏导数的推导是为了求解逻辑回归模型中的参数θ。通过最小化代价函数，我们可以得到最优的参数θ，使得模型的预测结果与真实标签最接近。

在正则化逻辑回归中，我们引入正则化项的目的是为了避免过拟合。正则化项可以惩罚模型中的参数，使得参数的值趋向于较小的数值，从而降低模型的复杂度。在正则化逻辑回归中，一般不对θ1进行正则化，这是因为θ1对应的是截距项，它影响模型在原点的位置，不参与特征的权重调整。

综上所述，机器学习中的二分类逻辑回归是一种通过构建逻辑回归模型，利用sigmoid函数将线性回归的输出转化为概率值，并通过最小化代价函数求解参数θ的算法。正则化逻辑回归则是在逻辑回归的基础上引入正则化项，避免过拟合问题。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *3* [吴恩达机器学习之逻辑回归(二分类)](https://blog.csdn.net/q642634743/article/details/118831665)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* [机器学习笔记——逻辑回归之二分类](https://blog.csdn.net/dzc_go/article/details/108855689)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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