编写一个程序，对于给定的正整数n，求1+2+...+n，采用逐个累加与高斯法。对于相同的n，给出这两种解法的求和结果和求解时间，并给出相关的算法设计思路

编写一个程序来计算1到n的和，可以采用两种方法：

**逐个累加法** (也称为简单迭代法)：

def sum_by_iteration(n):
    total = 0
    for i in range(1, n + 1):
        total += i
    return total

# 示例：
n = 5
result_iteration = sum_by_iteration(n)

这个方法的求和时间复杂度是O(n)，因为它需要做n次加法操作。

**高斯求和法** (利用等差数列求和公式)：

def sum_by_gauss_sum(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    else:
        return int((n * (n + 1)) / 2)

# 示例：
n = 5
result_gauss = sum_by_gauss_sum(n)

高斯求和法的时间复杂度是O(1)，因为它直接使用了数学公式，不需要遍历整个序列。

对于相同的n，逐个累加法的时间效率较低，而高斯求和法则更快。如果n很大，比如n在百万级别，那么高斯求和法的优势会更为明显。

**算法设计思路**：
- 对于小规模的n，逐个累加法可以轻松处理并理解；
- 当涉及到大规模数据时，为了提高性能，我们可以预先学习并记忆常见的数列求和公式，如等差数列、等比数列等，这样可以直接应用公式，节省计算时间；
- 在实际项目中，如果时间和空间不是关键因素，可以选择简单易懂的方法；如果对性能有较高要求，应优先考虑优化算法。