对于给定的正整数n，求1+2+... +n，采用逐个累加与n(n+1)/2(高斯法)两种解法。对于相同的n，给出这两种解法的求和结果和求解时间，并用相关数据进行测试。用c语言

在C语言中，我们可以分别编写两个函数来实现这两个方法：

1. **逐个累加** (Sequential Addition) 的解法：

#include <stdio.h>

long long sum_by_addition(int n) {
    long long result = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        result += i;
    }
    return result;
}

这种方法的时间复杂度是O(n)，因为我们需要对n个数字进行一次加法操作。

2. **高斯法** (Gauss's Formula) 的解法：

#include <stdio.h>
#include <math.h> // 需要math.h库来用到sqrt函数

long long sum_by_gauss(int n) {
    return (n * (n + 1)) / 2;
}

高斯法的时间复杂度是O(1)，因为我们直接计算了公式的结果，而不需要遍历所有数字。

为了测试这两种方法，你可以创建一个循环，比如从1到某个大的数值，例如10000，然后比较它们的结果以及运行时间。

#include <time.h>

void test_sums() {
    int n = 10000;
    clock_t start_add, end_add;
    clock_t start_gauss, end_gauss;

    start_add = clock();
    printf("Sum by addition: %lld\n", sum_by_addition(n));
    end_add = clock();

    start_gauss = clock();
    printf("Sum by Gauss's formula: %lld\n", sum_by_gauss(n));
    end_gauss = clock();

    double add_time = ((double)(end_add - start_add)) / CLOCKS_PER_SEC;
    double gauss_time = ((double)(end_gauss - start_gauss)) / CLOCKS_PER_SEC;

    printf("Time taken for addition: %.6f seconds\n", add_time);
    printf("Time taken for Gauss's formula: %.6f seconds\n", gauss_time);
}

int main() {
    test_sums();
    return 0;
}

运行这个程序，你会看到高斯法通常会比逐个累加快得多，尤其是在处理大数值时，差距会更明显。这是因为高斯法避免了线性的计算过程。