C++二重积分

C++中可以使用数值积分方法来计算二重积分，常见的方法有矩形法、梯形法和 Simpson 法等。这里以 Simpson 法为例进行说明。

假设要计算函数 $f(x,y)$ 在矩形区域 $[a,b]\times[c,d]$ 上的二重积分，可以将该区域划分成 $n_1\times n_2$ 个小矩形，其中 $n_1$ 和 $n_2$ 分别表示在 $x$ 和 $y$ 方向上的分割数，然后对每个小矩形应用 Simpson 法进行数值积分，最终将所有小矩形的积分值相加即可得到二重积分的近似值。

具体实现代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double x, double y) {
    return x * y;   // 定义被积函数
}

double simpson(double a, double b, double c, double d, int n1, int n2) {
    double h1 = (b - a) / (2 * n1);
    double h2 = (d - c) / (2 * n2);
    double sum = 0.0;
    for (int i = 0; i <= 2 * n1; i++) {
        for (int j = 0; j <= 2 * n2; j++) {
            double x = a + i * h1;
            double y = c + j * h2;
            double w = ((i == 0 || i == 2 * n1) ? 1.0 : ((i & 1) ? 4.0 : 2.0))
                     * ((j == 0 || j == 2 * n2) ? 1.0 : ((j & 1) ? 4.0 : 2.0));
            sum += w * f(x, y);
        }
    }
    return h1 * h2 * sum / 9.0;
}

int main() {
    double a = 0.0, b = 1.0, c = 0.0, d = 1.0;  // 积分区间
    int n1 = 10, n2 = 10;   // 分割数
    double res = simpson(a, b, c, d, n1, n2);
    cout << "二重积分的近似值为：" << res << endl;
    return 0;
}

其中，函数 `f` 定义了被积函数，函数 `simpson` 实现了 Simpson 法的计算过程，函数 `main` 中定义了积分区间和分割数，并调用 `simpson` 函数计算二重积分的近似值。