求微分方程的解析解, y’= y + 2x, y(0) = 1, 0<x<1; matlab

求解微分方程 \(y' = y + 2x\) 的解析解通常涉及分离变量法。对于给定的初始条件 \(y(0) = 1\) 和区间 \(0 < x < 1\)，我们可以将方程改写为 \(dy/dx - y = 2x\)，然后两边同时除以 \(y\)（假设 \(y \neq 0\)），得到 \(d\left(\frac{1}{y}\right) = 2x dx\)。

积分两边得到 \(ln|y| = x^2 + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。为了找出 \(y(x)\)，我们需要对等式两边取指数，注意这里需要考虑 \(y\) 的正负情况：

\[|y| = e^{x^2+C}.\]

由于 \(y(0) = 1\)，我们可以找到 \(C = ln(1) = 0\)，所以 \(y(x) = e^{x^2}\) 或者 \(y(x) = -e^{x^2}\) （因为 \(|y|\) 只给出了绝对值）。但是在给定的区间 \(0 < x < 1\)，\(y > 0\)，因此我们选择正解 \(y(x) = e^{x^2}\)。

在 MATLAB 中，你可以用 `ode45` 函数来数值求解这个微分方程，但因为这是理论解题，下面展示的是如何在 MATLAB 中用符号计算工具箱 `syms` 来验证解析解。如果直接求解，可以这样做：

syms x y
eqn = diff(y) - y == 2*x;
sol = dsolve(eqn, 'InitialConditions', [y(0) == 1]);
analytical_sol = subs(sol, x, 1);

上述代码会给出解析解，并在 \(x=1\) 处计算出对应的函数值。注意，在实际应用中，由于微分方程不容易有解析解，数值解更为常见。