求微分方程：x3y”+x2y”-4xy'=3x2 ，y(0.1)=y(0.1)=2,y”(0.1)=1 的解析解、并使用MATLAB画出它们的图形

首先，将微分方程化为常系数线性齐次微分方程。

令 v(x) = y'(x)，则 y''(x) = v'(x)

将 v(x) 替换 y'(x)，得到：

x^3v'(x) + x^2v'(x) - 4xv(x) = 3x^2

化简得到：

v'(x) + (2/x)v(x) = 3/x

这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先求解对应的齐次方程：

v'(x) + (2/x)v(x) = 0

其通解为：

v(x) = C/x^2

其中 C 为任意常数。

然后，根据常数变易法，假设特解为 v = A(x)/x^2，则：

v' = A'/x^2 - 2A/x^3

将特解和特解的导数代入原方程得到：

A'(x)/x^3 = 3/x

解得：

A(x) = (3/2)x^2 + C

特解为：

v(x) = ((3/2)x^2 + C)/x^2

代入 y' = v(x) 得到：

y'(x) = ((3/2)x^2 + C)/x^2

再次积分得到：

y(x) = (-3/2)x + C1ln(x) + C2

根据初始条件 y(0.1) = 2，可得：

C2 = 2

根据初始条件 y'(0.1) = 2，可得：

C1 = 13/20

根据初始条件 y''(0.1) = 1，可得：

C = -17/2

因此，原微分方程的解析解为：

y(x) = (-3/2)x - (17/2)ln(x) + (13/20)ln(x) + 2

使用MATLAB画图如下：

x=linspace(0.1,10,1000);
y=(-3/2).*x-(17/2).*log(x)+(13/20).*log(x)+2;
plot(x,y)
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Solution to the differential equation')