微分方程xy'+y(lnx-lny)=0满足条件y（1）=e^3的解为y=？

首先，根据方程xy'y(lnx-lny)=0，我们可以将其分为两个方程：

- x=0，此时y可以是任意值；
- y(lnx-lny)=0，即lnx=lny，即x=y。

将x=y代入原方程得到：

x·y'=0

解得y=C，其中C为常数。由于题目给出了条件y（1）=e^3，所以C=e^3，因此解为y=e^3。

相关问题

2.试验证y=lnx是微分方程xy"+xy'+y=lnx的一个特解；又知y=C{cos（lnx）+C,sin（In x)是对应齐次微分方程的通解，试写出x√"+xy'+y=Inx的通解.

首先，将 $y=\ln x$ 代入 $xy''+xy'+y=\ln x$ 中，可得：

$$
x\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=lnx
$$

化简后可以发现等式左右两边相等，因此 $y=\ln x$ 是微分方程 $xy''+xy'+y=\ln x$ 的一个特解。

接下来，对于对应齐次微分方程 $xy''+xy'+y=0$，我们可以将其转化为标准形式：

$$
y''+\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x}y=0
$$

然后可以使用常系数线性齐次微分方程的求解方法，假设通解为 $y=e^{mx}$，则有：

$$
m^2+\frac{1}{x}m+\frac{1}{x}=0
$$

解方程可得：

$$
m=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{1-4x}}{2x}
$$

因此，通解可以表示为：

$$
y=C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) + \int{\frac{\ln x}{x} e^{-\frac{1}{2}\ln x} dx}
$$

其中 $\int{\frac{\ln x}{x} e^{-\frac{1}{2}\ln x} dx}$ 可以使用分部积分法求解，最终通解为：

$$
y=C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) + x(\ln x-2)
$$

其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。

在matlab中利用美国人口数据，y=rt+a,y=lnx,a=lnx0,求出r和x0,再将r和x0代入x(t)=x0*e^rt,求出美国人口音)

首先，读入美国人口数据：

data = readtable('US_Population.csv');
t = data.Year;
y = data.Population;

然后，根据题目要求，将 $y=rt+a$ 转化为 $y=\ln(x)$， $a=\ln(x_0)$ 的形式：

x = y;
x0 = exp(a);
a = log(x(1));
y = log(x) - a;

接下来，利用最小二乘法求出 $r$ 和 $a$：

X = [t', ones(length(t), 1)];
b = X \ y;
r = b(1);
a = b(2);

再将 $r$ 和 $a$ 代入 $x(t)=x_0e^{rt}$，求出美国人口：

x_est = x0 * exp(r * t);

plot(t, x, 'o', t, x_est, '-')
legend('实际人口', '预测人口')