求下列微分方程的解：y'+2xy=xe^(-x^2)

这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先，我们求出齐次方程 $y'+2xy=0$ 的通解。它的特征方程为 $r+2x=0$，解得 $r=-2x$，因此通解为 $y=Ce^{-x^2}$，其中 $C$ 是任意常数。

接下来，我们尝试寻找非齐次方程的特解。猜测一个特解为 $y_p=u(x)e^{-x^2}$，其中 $u(x)$ 是待定函数。将其代入方程，得到：

$$u'(x)e^{-x^2}-2xu(x)e^{-x^2}+2xu(x)e^{-x^2}=xe^{-x^2}$$

化简后得到：

$$u'(x)e^{-x^2}=xe^{x^2}$$

解得 $u(x)=-\frac{1}{2}e^{x^2}+C$，其中 $C$ 是任意常数。因此，非齐次方程的通解为：

$$y=y_h+y_p=Ce^{-x^2}-\frac{1}{2}x+D$$

其中 $D$ 是任意常数。

相关问题

求解下列微分方程：dy/dx=x^2/(1+x^3)

将微分方程变形为：

dy/dx = x^2 / (1+x^3)

分母可以因式分解为 (x+1)(x^2-x+1)，因此可以写成：

dy/dx = x^2 / [(x+1)(x^2-x+1)]

对等式两边同时积分，得到：

∫ dy = ∫ x^2 / [(x+1)(x^2-x+1)] dx

右侧积分可以使用部分分式分解来解决。首先，根据部分分式分解的公式，假设右侧分母可以写成：

(x+1)(x^2-x+1) = A(x+1) + B(x^2-x+1)

其中，A 和 B 是待定常数。将等式两边同时乘以 (x+1)(x^2-x+1)，得到：

x^2 = A(x+1)^2 + B(x^2-x+1)(x+1)

将 x 分别取 -1, 0, 1，可以得到以下三个方程：

-1 = 2A - B
0 = A + B
1 = 4A + 2B

解以上方程可以得到 A=-1/3 和 B=4/3。因此，右侧积分可以变形为：

∫ x^2 / [(x+1)(x^2-x+1)] dx = ∫ [-1/(3(x+1))]dx + ∫ [4x-1/(3(x^2-x+1))]dx

对右侧的两个积分分别使用常见的积分公式，得到：

∫ [-1/(3(x+1))]dx = -(1/3) ln|x+1| + C1

和

∫ [4x-1/(3(x^2-x+1))]dx = 2x^2 - (2/3) ln|x^2-x+1| + C2

因此，微分方程的解为：

y = -(1/3) ln|x+1| + 2x^2 - (2/3) ln|x^2-x+1| + C

其中，C 是积分常数。

微分方程y''+2y'+5y＝sin^2x的特解应设为

我可以回答这个问题。根据微分方程的特性，我们可以设特解为y=Asin^2x，其中A为待定系数。将这个特解代入微分方程中，可以得到A=1/6。因此，微分方程y''+2y'+5y=sin^2x的特解为y=1/6*sin^2x。