求微分方程y=e2x-y当y(0)=0是的特解
时间: 2023-05-25 22:05:56 浏览: 90
首先对微分方程进行初步分析:
y' = 2e^(2x) - y (将y移到等号左边)
y' + y = 2e^(2x) (将y移到等号右边)
这是一个一阶线性非齐次微分方程,可以使用常微分方程的解法来解决。
首先求解对应的齐次微分方程:
y' + y = 0
其通解为 y = Ce^(-x) (C为常数)
然后根据非齐次方程的特殊形式,猜测其特解为 y = A*e^(2x) (A为待定系数)
将特解代入原方程得:
y' + y = 2e^(2x)
2A*e^(2x) + A*e^(2x) = 2e^(2x)
3A = 2
A = 2/3
特解为 y = (2/3)*e^(2x)
最终通解为 y = Ce^(-x) + (2/3)*e^(2x)
由于要求特解满足y(0)=0,代入得:
0 = C + (2/3)
C = -(2/3)
特解为 y = (2/3)*e^(2x) - (2/3)
(注:求解非齐次线性微分方程的特解时,可以使用常数变易法或超前截取法,本题使用的是常数变易法)
相关问题
求微分方程y''-y'+e^x=0
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,可以使用特征方程和待定系数法求解。
首先求其对应的齐次方程y''-y'=0的特征方程:
r^2 - r = 0
解得r1=0, r2=1
因此齐次方程的通解为y=c1 + c2*e^x。
然后考虑非齐次方程中的e^x,因为e^x是指数函数,所以我们猜测非齐次方程的特解为y*=A*e^x,其中A为待定常数。
将特解带入非齐次方程,得到:
A*e^x - A*e^x + e^x = 0
解得A=1。
因此非齐次方程的特解为y*=e^x。
最终的通解为y=c1 + c2*e^x + e^x。
微分方程xdy/x-y=3的通解
首先将方程化为标准形式,即将y视为自变量,x视为未知函数:
dy/dx = (x+y)/x - 3/x
令z = y/x,则y = zx,dy/dx = z + x dz/dx。将以上结果代入原方程可得:
z + x dz/dx = (x+z)/x - 3/x
整理可得:
x dz/dx = -2z + 3
将变量分离并分别积分,得到:
∫dz/(2z/3 - 1/x) = ∫dx/x
化简得到:
2/3 ln|2z-3| - ln|x| = ln|C|
其中C为常数,移项并取指数可得:
|2z-3|^2 / |x|^3 = e^{2ln|C|/3} = D
其中D为正常数,再次化简可得:
|y-3x|^2 = Dx^3
因此通解为:
|y-3x| = Cx^{3/2}
其中C为任意常数。
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