求微分方程y'''-2y''+y=0,y(0)=y'(0)=1,y''(0)=0的符号解.
时间: 2023-12-08 10:03:35 浏览: 37
首先,我们可以通过特征方程求解这个微分方程。特征方程是:
r^3 - 2r^2 + r = 0
将其化简得到:
r(r-1)^2 = 0
因此,特征根为 r1 = 0, r2 = r3 = 1。
因为特征根都是实数,所以我们可以写出通解:
y = c1 + c2e^t + c3te^t
接下来,我们要利用初始条件求出 c1, c2, c3 的值。根据 y(0)=1,我们可以得到:
c1 + c2 = 1
根据 y'(0)=1,我们可以得到:
c2 + c3 = 1
根据 y''(0)=0,我们可以得到:
2c3 + c2 = 0
解这个线性方程组,得到:
c1 = 1
c2 = 1
c3 = -1/2
因此,符合初始条件的特解为:
y = 1 + e^t - (1/2)te^t
至于符号解,因为 exp(t) > 0,因此 y(t) > 0 对于所有 t > 0 都成立。而 y(0)=1 > 0,因此 y(t) > 0 对于所有 t >= 0 都成立。
相关问题
求微分方程y''-y'+e^x=0
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,可以使用特征方程和待定系数法求解。
首先求其对应的齐次方程y''-y'=0的特征方程:
r^2 - r = 0
解得r1=0, r2=1
因此齐次方程的通解为y=c1 + c2*e^x。
然后考虑非齐次方程中的e^x,因为e^x是指数函数,所以我们猜测非齐次方程的特解为y*=A*e^x,其中A为待定常数。
将特解带入非齐次方程,得到:
A*e^x - A*e^x + e^x = 0
解得A=1。
因此非齐次方程的特解为y*=e^x。
最终的通解为y=c1 + c2*e^x + e^x。
用matlab求解微分方程y''+3y'+2y=0
您可以使用MATLAB的ode45函数来求解这个二阶常微分方程。下面是求解过程的MATLAB代码示例:
```matlab
% 定义微分方程的函数
dydt = @(t, y) [y(2); -3*y(2) - 2*y(1)];
% 设置初始条件
tspan = [0 10]; % 时间范围
y0 = [1; 0]; % 初始值,y(0) = 1, y'(0) = 0
% 求解微分方程
[t, y] = ode45(dydt, tspan, y0);
% 绘制结果
plot(t, y(:, 1), 'b-', 'LineWidth', 1.5); % 绘制 y(t)
xlabel('t');
ylabel('y');
title('Solution of y'''' + 3y'' + 2y = 0');
```
运行这段代码,将会得到微分方程的数值解,并绘制出函数 y(t) 的图像。