改进的交替G0=G1-展开法在非线性偏微分方程中的应用

ðÞðÞþ þ¼ð ÞJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，416埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章改进的交替（G0/G）-展开法五阶广义Fitnat Saba，Saudia Jabeen，Huma Akbar，Syed Tauseef Mohyud-Din*巴基斯坦塔克西拉坎特HITEC大学数学系接收日期：2013年8月24日;修订日期：2014年6月6日;接受日期：2014年2015年2月11日在线发布通过引入广义Riccati方程构造新的精确解，进一步改进了替代的G_0 = G_1-展开法。为了说明这种方法的新颖性和优越性，我们考虑了一般的Sawada-Kotera（GSK）方程，并以统一的方式得到了大量新的精确行波解.这些解对于解释某些实际的物理现象可能是必要的和重要的。结果表明，改进的交替G0=G1-展开法是求解数学物理中非线性偏微分方程的一种有效而先进的数学工具.数学潜规则分类：C02; C30; C32？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍非线性科学的快速发展见证了广泛的可靠和有效的技术（例如，见[1自1834年John Scott Russell观察到孤子现象[1，25]和Gardner等人用逆散射方法求解KdV方程[2]孤立波解的出现在自然界中是很常见的。钟形sech-解和扭结形tanh-解*通讯作者。联系电话：+92 321 5151290。电子邮件地址：syedtauseefs@hotmail.com（S.T. Mohyud-Din）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.06.013在弹性介质、等离子体、固态物理、凝聚态物理、电路、光学纤维、化学运动学、量子流体、生物遗传学等中模拟波动现象。描述水波的KdV方程和Boussinesq方程的行波解是众所周知的例子。除了它们的物理相关性之外，NLEE的封闭形式解（如果可用）有助于数值求解器进行比较，并有助于稳定性分析。在孤子理论中，有几种方法可以处理非线性弹性方程的孤波解问题，如Hirota同伦扰动[5]、达布变换[6]、Tanh函数[7]、齐次平衡[8]、Jacobi椭圆函数[9，10]、F展开[11]和指数函数[12最近，Wang等人[16]建立了一种广泛使用的直接而简洁的方法，称为G0=G-展开法，用于获得NLEE的精确行波解，其中Gn满足二阶线性常微分方程（ODE）G00kG0lG0，其中k和l是任意常数。G0=G-展开方法的应用可以在文献[171110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词五阶KdV方程一般SK方程;行波解;孤子G0=G2-展开法;一般五阶Sawada-Kotera方程的修正交替（G0/G）-展开法417ðÞðÞXGðÞðÞð ¼Þ- 你好¼ ðÞ¼-ðÞ1221021012Q21242Q-2rcos2主要 步骤 的G0=G-展开方法结合广义Riccati方程映射-4qr-p2sin1PAPCOS2Q u; u; u; u. Σ;为了证明G0=G-展开法的有效性和可靠性，并扩大其应用的可能性，一些研究人员进行了进一步的研究。例如，Zhang等人[27]提出了一种改进的G0=G-展开法，以寻求更一般的行波解。Zayed [28]提出了一种新的方法，即G0=G0-expansinme d，其中G0满足Jacb i n的条件。其中上标表示关于n的普通导数。步骤2：如果可能的话，积分方程。（2.3）逐项一次或多次。这产生积分常数。步骤3：假设方程的行波解。（2.3）可以用一个多项式来表示，在<$G0=G<$ellipticequation½G0n]2¼eG4neG2ne;e;eare如下所示：任意常数，并获得了新的精确解。扎耶德[29] 再次提出了这种方法的另一种方法，其中Gn满足RiccatieequationG0nABG2n，乌镇Mn¼0的g0nan;am其中A和B是任意常数。尽管如此，为了使G0=G-展开方法得到很好的建立，还必须做大量的工作，因为每个非线性方程都有自己的物理意义丰富的结构。为了得到非线性方程组的新的精确解，提出各种方法和算法是很重要的，但如何在已知的方法和算法下得到更多的新的精确解则显得更为重要。本文通过引入广义Riccati方程映射及其27个解，进一步修正了Zayed[29]提出的交替G0=G-展开法，构造了广义Sawada-Kotera方程丰富的新行波解是五阶KdV方程（fKdV）其中G^G^n满足广义Riccati方程，G0¼rpGqG2;2：5其中n n 0; 1; 2;.. . m、r、p和q是稍后确定的任意常数。广义Riccati Eq. （2.5）有27个解[41]如下：家庭1.当p2 4 qr<0和pq-0或rq-0时，方程（1）的解可推广。（2.5），G1- p 1-p2-p4-q1-p2-p 4-q 1-p 2-p 4-q 1-p 2-p 4-q 1-p 2-p 4-q 1-p 2-p 4-p4-q 1-p 2-p 4-p 4-p 4-p 4-q 1-p 4-p 4-p 4-p 4-p 4-p 1p4qr-p2n;u t u xxxxx cuu xxx bu x u xxau2u x¼ 0;1：1。ΣΣ2其中a、b和c是任意非零和实参数，uu x;t是一个可微函数。 fKdV方程（1.1）是一个重要的数学模型，具有广泛的应用。1G2¼ -2qpp4qrp2cot1p4qrp2n;量子力学和非线性光学的基础上，进一步描述了重力作用下浅水中长波和一维非线性晶格中长波的运动一般SK方程的特征在于：b¼c;a¼5c：101：200利用（1.2），（1.1）简化为一般SK方程：G1h-p1 p 4p 2qq qq塔;p4qr-p2nse c.p4qr-p2ni;G1hpp4qr-pp2。床。p4qr-p2n csc.p4qr-p2ni;G1- 2p-2p-4p-4p-4p-4p塔; 1p14p14p14q14r15p14 p15 p14n15 n 16 n 16 n 17 n 18 n 18 n 19 n 19 n 19n19 1p4qr-p2n;ut uxxxxxc uuxxxc ux uxx1 c2u2ux¼0：01：305四四四文章安排如下：在第2节中，修改后的2ðÞ1qA2-B24qr-p2-Ap4qr-p2co s.p4qr-p2n3替代 讨论了G0=G-展开法.在第3节中，我们将这种方法应用于非线性五阶KdV方程，在第4节中给出了图形表示，在第5节中给出了结论G6¼2q64-pASIN .p4qr-p2nB75;12qA2-B24qr-p2Ap4qr-p2co s.p4qr-p2n32. 方法考虑以下类型的一般非线性偏微分方程G7¼2q64-pASIN.p4qr-p2nB75;Pu; u t; u x; u tt; u xx; u xt;.. .千分之二十;千分之二：一千万其中u<$u<$x;t<$x是未知函数，P是多项式，ux;t及其偏导数，其中最高阶其中A和B是两个非零实常数，并且满足条件A2-B2>0.. p1涉及到偏导数和非线性项的G8½p的价格是合理的。 pp2ping如下：第一步： 行波变量2rsin。1p4qr-p2nG9¼.1pp。1p;u x; tun;n x- Vt;2：2其中，V是行波的速度，允许我们将方程变换为：（2.1）转换成ODE：-psin24qr-p2npyramid4qr-p2pyramidcos2-2个rcos。p4qr-p2n4qr-p2n000000G10¼p无菌包装袋 .pp204qr-p2双链4qr-p2n科布科斯4qr-p2np4qr-p2n4qr-p2n4qr-p2n... . 2019-02-232014年4月-第2页3 2Q5418F. Saba等人- 你好B.G.2公司简介p-4qr tanh p- 4qrn isech p- 4qrn ;2q2Q1/4 -2pp-4qr tanhp- 4qrn22ðÞ4rsin。1p 1444q144r144p144n144co s.1p4qr-p2n4qr-p2n4qr-p2n4qr-p2n132Q262q½dcoshpnsinhpn]B.B.-p2-4qrsinhp2-4qrn-pcoshp2-4qrnp2-4qrnp2-4qrnp2-4qrn-pcoshp2-4qrn我p2-4qrn174q44;2rsi n.p4qr-p2n家庭3. 当r^0和pq-0时，方程的解为：（二、五）;G11¼. pp. pp是，G12¼.1p44.1p4p.1p4p家庭2. 当p24qr> 0且pq-0或rq-0时，方程（1）的解可推广到其它情形。（2.5），25国集团-pd;q½dcoshpn-sinhpn]G 1/4 -1pp2-4qrtanh. 1p2-4qrn;G¼- [p½coshpnsinhpn];114¼ -2qpp2-4qrcoth. 1p2-4qrn;其中d是任意常数。家庭4.当q（2.5）是，G151小时 后，2小时后，. 第2页第2页第3页第4页第5页第6页第7页第8页第10页第11页第12页第13页第14页第15页第16页第17页第18页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页第19页p27国集团11/4-qn/1十六国集团1/ 4 -1hpppp2h-1hppp2h-1hppp2h-1hppp4hqpppp2h-1hppp2h-1hppp2h-1hppp2h-1hppp2h-1hpppp2h-1hppppp2h-1hppppp。科特湖p2-4qrncsch.p2-4qrni;其中c1是一个任意的常数。G1p2。. 1个p2个p2个p 3个p 4个p 4个p 4个p 4个p 4个p 4个p 4个p 4个p 4个p 4个p 4个p 4个p 4 1p2步骤4：为了确定正整数m，将等式（2.4）与Eq。（2.5）在Eq. （2.3）然后考虑最高阶导数和12qA2B2p2-4qr-Ap2-4qrcos h.p2-4qrn3非线性项出现在方程中。（2.3）。G18¼2q64-p阿辛 .p2-4qrnB75;步骤5：替换Eq.（2.4）与Eq。（2.5）在Eq.（2.3）与步骤4中得到的m值一起，我们得到了Gi和G-i中的多项式;2q221p. p2; 3;.. . Þ 每一个人，都有自己的归宿。结果多项式为零，产生一组代数，G19¼2q64-p-阿辛 .p2-4qrnB75;an;r;p;q和V的非线性方程。步骤6：假设常量的值其中A和B是两个非零实常数，并且满足条件B2-A2>0。2rcosh。1pp2-4qrnG20 ¼p的价格将被下调。1便士的硬币。1p;an;r;p;q和V可以通过求解在步骤4中获得的代数方程组来确定。由于Eq的一般解。 （2.5）已知，将n;r;p;q和V代入等式（2.5）。（2.4），我们得到了新的精确行波解.的非线性演化方程。（2.1节）。G21¼p无菌包装袋2rsinh。1pp2-4qrn.1p22rcos h.p2-4qrn.1p;23. GSK方程的一些新的行波解在这一节中，我们用改进的交替G0=G-展开法构造了一些新的行波G22¼p.pppG23¼. p2rsin h.p2-4qrnp 。pþp它是数学物理和工程中让我们-sider the general Sawada–KoteraG24¼：¼;：-胰蛋白酶4qr-p2nþ2004年4月-p2年2月2014年4月-第2页4qr-p2n-2psincos4þ22004年4月-p2年2月-2014年4月-第2页22第2-4页qrcosh-psinhp2-4qrsinhp2-4qr解决方案 的 的 一般 泽田小寺 (GSK)方程-psinhp2-4qrn第2-4页qrcoshp2-4qrnp2-4qr-2psinh-p2-4qr;一般五阶Sawada-Kotera方程的修正交替（G0/G）-展开法4194rsinh。1pp2-4qrncos h.1pp2-4qrnp2-4qrnp2-4qrn.1p44.1p4p二、1p4pcosh4þ2第2-4页qrcosh420F. Saba等人515- 你好¼ð Þp2..GC30G i和G-i=1/4 0; 1; 2; 3;. .. 每个人都有自己的一套说辞。Σ012A cos2<$2Dn<$-A-B-2ABsin2DnpAsin2Dn2ADcos2DnpB- 2D-BA cos2Dn- A-B-2ABsin2Dn. ΣΣ没 关系ð ÞΣu uc ucu u1c2u2u0：三比一5分钟2-4小时30便士30便士我的xxxxxxxx视频X2015年12 月25日最 大值0¼-c;a1¼c;a2¼ -c;现在，我们使用波变换方程。（2.2）在Eq. （3.1），其产生：V¼p4-8p2qr16q2r2;10p6-12p4qr48p2q2r2-64q3r3-Vu0uvcuu000cu0u001c2u2u0¼0：3：2碳三c; 103：70积分方程（3.2）对于n，我们得到C-Vuuivcuu001c2u3¼0：33：34根据步骤4，Eq. （3.3）可以表示 通过以下公式中的多项式：其中p、q和r是任意常数。现在基于Eq的解（2.5），我们得到了方程的一些新类型的解。（3.1节）。家庭1. 当p24qr 0和pq<（3.1）：una0a1.G0GE2.G0×2G· ··.G0mG;am2013年3月4日u1¼20D2 30pC布拉奇2D2秒2Dn30-p2 DtanDn --2D2秒2Dn2;-p2DtanDn其中，a i; n i ^/^0; 1; 2;. . ;m均为待定常数，G Gn满足广义Riccati方程。（2.5）。考虑到方程中最高阶导数和非线性项之间的齐次平衡。（3.3）我们得到¼其中D14qr-p2;n1 4x- 16D4t，p、q和r是任意常数。20第纳尔230便士。 2D 2csc2Dn30.2 D2csc2Dn2m2。因此，Eq.（3.4）形式u2¼C- -p2 DcotDn--;p2DcotDnuna0a1.G0GE2 .G0×2G;a2u3¼ 20D2c30个pC4D2sec2Dn1sin2Dn-pcos2Dn2Dsin2Dn2D通过Eqs。（2.5），（3.5）可以改写为，30.4D2sec2Dn1 Sin2DnΣ2un a0a1prG-1qG2qG-c-pco s2Dn2 Dsin2Dn2D;替换Eq。（3.6）在Eq. 在等式（3.3）中，该等式的左手侧被转换成多项式，u4¼20D2c-30个pC4D2csc2Dn1cos2Dnpsinβ 2Dnβ2Dcosβ 2Dnβ 2D多项式为零，我们得到一组关于a;a;a;p;q;r和V的联立代数方程如下：304D2csc2Dn1cos2Dnc蛋白酶2Dn的g00了c0C1 . G01GC2 .G0×2G· · ·.G012G¼0：20D230pu¼-2D2cscDn5c cpsinDnn n2DcosDnn n利用Maple等符号计算软件求解超定代数方程组，得到-30个2D2cscDn2psinDnn n2DcosDnn n20D230p04AD2npA2-B2s2Dn-Bsin2Dn-AofAsin2DnBg1u6¼c-c@。2 2 23p22oA04AD2npA2-B2cos2Dn-Bsin2Dn-AofAsin2DnBg12-c@。22222p22oA;一 -B20D230p04AD2npA2-B2cos2DnBsin2DnAofAsin2DnBg1u7¼c-c@。2 2 23p22oA一pAsin2Dn2ADcos2DnpB- 2DΣΣ2-;..;一般五阶Sawada-Kotera方程的修正交替（G0/G）-展开法42130A cos2<$2Dn<$-A-B-2ABsin2DnpAsin2Dn-2ADcos2DnpB- 2D-BA cos2Dn-A-B-2ABsin2DnpAsin2Dn-2ADcos2DnpB- 2D04AD2npA2-B2cos2DnBsin2DnAofAsin2DnBg12-c@。22222p22oA;一 -B一422F. Saba等人22@4X2sech2Xn1nisinh2Xn30-20X24X2csch2Xn1cosh2XnfAsinh2XnBgpAsinh2Xn2AXcosh2XnpB-2X一CIBB02np22o12fAsinh2XnBgpAsinh2Xn2AXcosh2XnpB2X一CIBB4AX30A- Bsinh2Xn一B cosh20X202np22o12Fð ÞþGð Þþð Þþþþ-Σ其中A和B是两个非零实常数，并且满足条件A2-B2>0。式中，X<$1p2-X<$14qr;n<$x-16X4t，p、q和r为任意数，trary常数u8¼20D2c-30个pC2Dsec-1Dn-1fpcos-1Dn-2Dsin-1Dn-1g2018- 02- 22qrpk10开奖结果2 pk10开奖结果4pk10开奖结果4 pk10开奖结果4 pk10开奖结果20X2u14¼-30便士。2 X2 csch2Xn30.2 X2csch2Xn2-30个2D2secDnfpcosDn2DsinDng2 2c cp2XcothXncp2XcothXnc22p-2qrpincospincos dnpincosdnpincosdnpincosdnpincosd 4D20 X2 30 p. 4X2sech2Xn1nisinh2Xnu15¼ -C布拉奇pcosh2Xn2Xsinh2Xni 2X20D230便士。2D2cscDnfpsinDn-2DcosDng- 是的Σ2.2Σ2;cpcosh2Xn2Xsinh2Xn i2Xc22p2 - 2 qr22cos2 Dn4 DpsinDncosDn-p2.Σu16¼ -c- Cpsinh2Xn2Xcosh2Xn 2X20D230便士。2D2sec2Dnf1sin2Dngfpcos2Dn2Dsin2Dn2Dgu10¼c-c2p2-2qrcos22Dn2Df1sin2Dngf2Dpcos2Dng30. 4X2csch2Xn1cosh2Xn230.2D2sec2Dnf1sin2Dngfpcos2Dn2Dsin2Dn2Dg2-cpsinh2Xn2Xcosh2Xn 2X;- -2p2-2qrcos22Dn2Df 1 sin2Dngf2Dpcos2Dng;20D230便士。2D2csc2Dnf-psin2Dn2Dcos2Dn2Dg20X230便士。X2秒2秒Xn=2秒！u11¼c c2qr-p2u17¼-C- -二、cosh2Xn=2-1fpXtanhXn=2cothXn=2g.Σ2-两个;30.X2秒h2X n=2！2302D2csc2Dnf-psin2Dn2Dcos2Dn2Dgc2qr-pcos2Dn-2pDsin2Dn2qr--二、cosh2Xn=2-1fpXtanhXn=2co t hXn=2g;30p04AX2nA-Bsinh2Xn-pA2B2cosh2Xno1u18¼-c@np22oA304AX- -A-Bsinh2Xn-nA B coshp22oA一CIBB20X2;C30p04AX2nA-Bsinh2XnpA2B2cosh2Xno1u19¼-c@np22oA-c@Asinh2XnBnpAsinh2Xn2AX cosh2XnpB2XpA2B2oA-c、20第纳尔230便士。2D2cscDnfpsinDn-2DcosDng其中 A和B是两个非零实常数，并且满足12升cc2p2-2qrcos22Dn4pDsinDncosDn-p2条件B2-A2>0..2Σ2-2 2220 X2 30 p.2X2sechXn30 2DcscDnfpsinDn-2DcosDng：c22p-2qrcos2Dn 4pDsinDncosDn-pu20¼ -C- -2XsinhXn-pcoshXn家庭2.当p2-4qr> 0，pq-30个2X2sechXn22XsinhXn-pcoshXn方程的类孤子解（3.1）：20 X2 30 p.2X2cschXn.u9¼CC þ C2014年2月2日至2日qrpicos2日Dnpicos 4日Dpsindnpicos npicosnpicos-p2-30;二维csc函数-二维余弦函数30个pfAsinh2XnBgpAsinh2Xn2AXcosh2XnpB-2XΣ-;Σ2二、-;一般五阶Sawada-Kotera方程的修正交替（G0/G）-展开法423u21¼ -C布拉奇2XcoshXn-psinhXn20X230便士。2 X 2秒2秒Xn秒30.2 X2sech2Xn230.2X2cschXn2u13¼-C布拉奇p2XtanhXn-c;p2XtanhXn-c2XcoshXn-psinhXn;424F. Saba等人30. 4X2csch 2Xnf1cosh2Xng2¼一般五阶Sawada-Kotera方程的修正交替（G0/G）展开法图1孤子对应于p<$^q<$^2，r<$^3和c<$^5的解u1图4对应于p1/3;q1/ 2的解u21的孤子，R1/4和C1/45。图图2孤子对应于p<$^q<$^1、r<$^2和c<$^5的解u5。图图5孤子对应于p1/4 0;q 1/4 1的解u27，r 1/40;c1/4 5和c1/41。20X23 0p。4X2csch2Xnf1cosh2Xngu23¼ -C布拉奇2 Xcosh2Xn-psinh2Xn2 X— c2 Xcosh2Xn-psinh2Xn2X;20 X2 30 p.2X2cschXnu24¼ -C布拉奇2XcoshXn-psinhXn30.2 X2cschXn2— c2 XcoshXn- psinhXn：家庭3. 当r0和pq-0时，方程的解是（3.1），20 X230 p. pcoshpn-sinhpnu25¼ -C布拉奇dcoshpn-sinhpn图3对应于解u13的对于p1/43;q1/42，30. pcoshpn-sinhpn2R1/4和C1/45。-cdcoshn-sinhn;20X230便士。4X2秒h2Xnf1nisinh2Xng20 X230 p.pDu22¼ -C布拉pcosh2Xn-2Xsinh2Xnni 2Xu26¼ -C布拉奇dcoshpnsinhpn30.4X2sech2X nf1nisin h2Xng230. PD-2-cpcosh2Xn-2Xsinh2Xnni 2X;-cdpcoshpnsinhpn：422F. Saba等人¼¼ðÞðÞc-- C家庭4. 当q（3.1）是，[9] S. Liu、Z.Fu，S.刘，智-地赵，Jacobi椭圆函数展开法与非线性波动方程的周期波解，物理学报。A（289）（2001）69-74。20X230便士。qCqn c130. q=2qn c1[10] A.T. 新的广义Jacobi椭圆函数有理扩展方法，J. Comput.应用数学（235）（2011）4117-4127其中C1是任意常数。4. 图形表示图形是一种强有力的交流工具，它清晰地描述了问题的解决方案。 因此，下面给出了解决方案的一些图表。图中很容易显示出解的孤波形式（见图1和图2）。 1-5）。5. 结论通过引入广义Riccati方程映射，对交替G 0 = G -展开法进行了改进，并借助于符号计算，得到了一般Saw- ada-Kotera方程的丰富的精确行波解.重要的是要指出，所获得的解决方案还没有在以前的文献中报道。本文中发现的新型行波解可能对未来的研究产生重大影响。我们把解放回到原来的方程中，以保证解的正确性。（3.1节）。本文只是一个探索性的工作，我们期待改进的替代G0=G-展开方法能适用于数学物理中的其他类型的非线性方程。确认作者非常感谢不知名的审稿人和编辑提出的宝贵意见引用[1] M.A.Wazwaz，PartialDifferentialEquationsandSolitaryWaves Theory ， Springer Dordrecht Heidelberg ，London，NewYork，2009。[2] C.S.加德纳，J.M. Greene，医学博士Kruskal等人，Phys.Rev. Lett. (19)（1967）1095-1099。[3] R. Hirota，KdV方程的多重碰撞孤子的精确解，物理。Rev.Lett. （27）（1971）1192-1194。[4] C. 罗 杰斯 ， W.F. Shadwick ， Backlund Transformations ，Academic Press，New York，1982.[5] M.A.贾法里A.张文，解非线性扩散方程的同伦摄动方法，物理学报，2001。(82)（2010）015002，5p.[6] Zhaqilao，Darboux变换和某些（2+1）维非线性方程的多孤子解，Phys. 安全性（82）（2010）035001，5p.[7] M.李文，非线性波动方程的孤立波解，北京大学出版社，2001。（60）（1992）650-654。[8] M.L. Wang，复合KdV-Burgers方程的精确解，Phys. Lett. A（213）（1996）279-287。[11] Y.B. 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