求下面微分方程的解析解 $$y'' - 2y' + 3y = x\cos x$$
时间: 2024-04-22 22:25:54 浏览: 16
我们可以先求出对应齐次微分方程的通解:
$$y'' - 2y' + 3y = 0$$
对应的特征方程为:
$$r^2-2r+3=0$$
解得:
$$r=1\pm\sqrt{2}i$$
因此齐次微分方程的通解为:
$$y_c=c_1e^{x}\cos(\sqrt{2}x)+c_2e^{x}\sin(\sqrt{2}x)$$
接下来,我们可以使用常数变易法来求非齐次微分方程的特解。设特解为$y_p=A(x)\cos x+B(x)\sin x$,则有:
$$\begin{aligned} y_p'&=A'(x)\cos x+A(x)(-\sin x)+B'(x)\sin x+B(x)\cos x \\ y_p''&=A''(x)\cos x+A'(x)(-\sin x)+A'(x)(-\sin x)+A(x)(-\cos x)+B''(x)\sin x+B'(x)\cos x+B'(x)\cos x-B(x)\sin x \end{aligned}$$
将$y_p$及其导数代入原方程,得:
$$\begin{aligned} &A''(x)\cos x+A'(x)(-\sin x)+A'(x)(-\sin x)+A(x)(-\cos x)+B''(x)\sin x+B'(x)\cos x+B'(x)\cos x-B(x)\sin x \\ &-2\left[A'(x)\cos x+A(x)(-\sin x)+B'(x)\sin x+B(x)\cos x\right]+3\left[A(x)\cos x+B(x)\sin x\right]=x\cos x \end{aligned}$$
整理后,得到:
$$\begin{aligned} &A''(x)-2A'(x)+3A(x)=x\cos x \\ &B''(x)-2B'(x)+3B(x)=0 \end{aligned}$$
根据常数变易法的思想,我们设$A(x)$和$B(x)$都是关于$x$的二次多项式,即:
$$A(x)=ax^2+bx+c, \quad B(x)=dx^2+ex+f$$
代入上述方程组,得到:
$$\begin{aligned} &2a-2a+3(ax^2+bx+c)=x\cos x \\ &2d-2d+3(dx^2+ex+f)=0 \end{aligned}$$
比较同次幂系数,解得:
$$a=\frac{1}{3}, \quad b=0, \quad c=-\frac{1}{18}, \quad d=0, \quad e=0, \quad f=0$$
因此,非齐次微分方程的一个特解为:
$$y_p=\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{18}\cos x$$
因此,原微分方程的通解为:
$$y=y_c+y_p=c_1e^{x}\cos(\sqrt{2}x)+c_2e^{x}\sin(\sqrt{2}x)+\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{18}\cos x$$
其中$c_1$和$c_2$为任意常数。