利用numpy和scipy模块求下面微分方程的解析解 $$y'' - 2y' + 3y = x\cos x$$

首先，我们可以先求齐次微分方程 $y'' - 2y' + 3y = 0$ 的通解。

设 $y=e^{rt}$，则 $y'=re^{rt}$，$y''=r^2e^{rt}$，代入原方程得：

$$r^2e^{rt} - 2re^{rt} + 3e^{rt} = 0$$

化简得：

$$(r-1)^2 + 2i^2 = 0$$

解得：

$$r = 1 \pm i\sqrt{2}$$

因此，齐次方程的通解为：

$$y_h(t) = e^t[c_1\cos(\sqrt{2}t) + c_2\sin(\sqrt{2}t)]$$

接下来，我们需要求非齐次方程的特解。根据常系数非齐次线性微分方程的求解方法，我们可以猜测特解形式为：

$$y_p(t) = (At+B)\cos(t) + (Ct+D)\sin(t)$$

将其代入原方程得：

$$(At + 3C + B\cos(t) + D\sin(t))\cos(t) + (2A + C\cos(t) - D\sin(t))\sin(t) = x\cos(x)$$

比较系数可得：

$$\begin{cases} A = -\frac{1}{2} \\ B = \frac{1}{4} \\ C = \frac{1}{2} \\ D = -\frac{1}{3} \end{cases}$$

因此，非齐次方程的一个特解为：

$$y_p(t) = -\frac{1}{2}t\cos(t) + \frac{1}{4}\cos(t) + \frac{1}{2}t\sin(t) - \frac{1}{3}\sin(t)$$

因此，原微分方程的通解为：

$$y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^t[c_1\cos(\sqrt{2}t) + c_2\sin(\sqrt{2}t)] -\frac{1}{2}t\cos(t) + \frac{1}{4}\cos(t) + \frac{1}{2}t\sin(t) - \frac{1}{3}\sin(t)$$

其中，$c_1$ 和 $c_2$ 为待定系数，可以根据初始条件来求解。