求微分方程的解析解、并使用MATLAB画出它们的图形：y''''=y,y(0)=y'(0)=2,y''(0)=y'''(0)=1

首先，我们可以把这个四阶微分方程转化为一个一阶微分方程组：

令y1=y，y2=y'，y3=y''，y4=y'''，

则原方程变为：

y4=y1

y1(0)=2，y2(0)=1，y3(0)=1，y4(0)=1

于是得到一阶微分方程组：

y1'=y2

y2'=y3

y3'=y4

y4'=y1

并且初始条件为：

y1(0)=2，y2(0)=1，y3(0)=1，y4(0)=1

解这个一阶微分方程组，得到：

y1(t) = (1/2)*(2*cos(t)+2*sin(t)+exp(t)-cos(t)-sin(t)-exp(-t))

y2(t) = (1/2)*(2*cos(t)-2*sin(t)+exp(t)+cos(t)-sin(t)-exp(-t))

y3(t) = (1/2)*(-2*cos(t)-2*sin(t)+exp(t)+cos(t)+sin(t)-exp(-t))

y4(t) = (1/2)*(-2*cos(t)+2*sin(t)+exp(t)-cos(t)+sin(t)-exp(-t))

使用MATLAB画出它们的图形：

t = linspace(0, 10*pi, 1000);

y1 = (1/2)*(2*cos(t)+2*sin(t)+exp(t)-cos(t)-sin(t)-exp(-t));
y2 = (1/2)*(2*cos(t)-2*sin(t)+exp(t)+cos(t)-sin(t)-exp(-t));
y3 = (1/2)*(-2*cos(t)-2*sin(t)+exp(t)+cos(t)+sin(t)-exp(-t));
y4 = (1/2)*(-2*cos(t)+2*sin(t)+exp(t)-cos(t)+sin(t)-exp(-t));

plot(t, y1, 'r', t, y2, 'g', t, y3, 'b', t, y4, 'm');
legend('y1', 'y2', 'y3', 'y4');
xlabel('t');
ylabel('y');
title("y''''=y, y(0)=2, y'(0)=1, y''(0)=1, y'''(0)=1");

运行结果如下图所示：