求微分方程：y''''=y,y(0)=y'(0)=2,y''(0)=y'''(0)=1的解析解、并使用MATLAB画出它们的图形

解析解：

特征方程为$r^4-1=0$，解得$r_1=1,r_2=-1,r_3=i,r_4=-i$。

所以通解为$y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x$。

根据初值条件，得到$c_1=1,c_2=1,c_3=\frac{1}{2},c_4=0$。

因此，解析解为$y=e^x+e^{-x}+\frac{1}{2}\cos x$。

MATLAB代码：

% 定义变量
syms y(x);
% 定义微分方程
eqn = diff(y,x,4) == y;
% 定义初值条件
cond1 = y(0) == 2;
cond2 = diff(y, x)(0) == 2;
cond3 = diff(y, x, 2)(0) == 1;
cond4 = diff(y, x, 3)(0) == 1;
conds = [cond1, cond2, cond3, cond4];
% 求解微分方程
ySol(x) = dsolve(eqn, conds);
% 绘制图像
fplot(ySol, [-5,5]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('y^{(4)}=y');

运行结果：