求微分方程dy/x+y/x=e*x的通解
时间: 2023-05-25 13:05:59 浏览: 80
将原方程变形得:
dy/y = x*dx
对其两边同时积分,得
ln|y| = 1/2*x^2 + C1
其中C1为任意常数,继续变形得
|y| = e^(1/2*x^2+C1)
根据指数函数的性质,有e^C1为正常数,所以又可以得到:
y = ±e^C2*e^(1/2*x^2)
其中C2为正常数,综上所述,原微分方程的通解为:
y = C*e^(1/2*x^2) (其中C为任意常数)
相关问题
微分方程xdy/x-y=3的通解
首先将方程化为标准形式,即将y视为自变量,x视为未知函数:
dy/dx = (x+y)/x - 3/x
令z = y/x,则y = zx,dy/dx = z + x dz/dx。将以上结果代入原方程可得:
z + x dz/dx = (x+z)/x - 3/x
整理可得:
x dz/dx = -2z + 3
将变量分离并分别积分,得到:
∫dz/(2z/3 - 1/x) = ∫dx/x
化简得到:
2/3 ln|2z-3| - ln|x| = ln|C|
其中C为常数,移项并取指数可得:
|2z-3|^2 / |x|^3 = e^{2ln|C|/3} = D
其中D为正常数,再次化简可得:
|y-3x|^2 = Dx^3
因此通解为:
|y-3x| = Cx^{3/2}
其中C为任意常数。
求微分方程:dy/dx= xy /(y^3+(x^2)*(1+y))的通解
首先,将分式部分拆分为两项,得到:
dy/dx = x/(x^2*y^2) - 1/(y^2*(1+y))
将右侧的两项进行通分,得到:
dy/dx = (x*(1+y) - (x^2*y))/(x^2*y^2*(1+y))
再将分母部分拆分得到:
dy/dx = x/(x^2*y^2) - y/(x^2*(1+y)) + 1/(x^2*y*(1+y))
接下来,我们可以使用分离变量法进行求解,将等式两侧同时乘以 y^2*(1+y),得到:
y^2*(1+y)*dy = x*dx/(x^2*y^2) - y^2*(1+y)*dx/(x^2) + dx/(x^2*y)
对等式两侧分别积分,得到:
∫(y^2*(1+y))*dy = ∫(x*dx/(x^2*y^2) - y^2*(1+y)*dx/(x^2) + dx/(x^2*y))
化简上式,得到:
y^3/3 + (y^2/2) = -1/(x*y) - y/(2*x) + ln|x| + C
因此,微分方程的通解为:
y^3/3 + (y^2/2) = -1/(x*y) - y/(2*x) + ln|x| + C,其中 C 为任意常数。