求dy/dx=2xy/(x^2+y^2)的通解
时间: 2023-09-26 22:06:52 浏览: 406
### 回答1:
求解dy/dx=2xy/(x^2 y^2)的通解,可以先积分两边:∫dy/dx dx = ∫2xy/(x^2 y^2) dx,再求出积分结果:y=x^2/(2y)+C,其中C为任意常数,便是该方程的通解。
### 回答2:
要求解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^2y^2}$ 的通解。
首先,我们可以将方程写成如下形式:
$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{xy}$
然后,我们可以对方程进行变量分离:
$ydy=2xdx$
接下来,我们可以对上述方程两边同时积分:
$\int ydy=\int 2xdx$
对左边进行积分得到:
$\frac{y^2}{2}+C_1$
对右边进行积分得到:
$x^2+C_2$
其中,$C_1$ 和 $C_2$ 是积分常数。
将上述两个结果相加,得到方程的通解为:
$\frac{y^2}{2}+C_1=x^2+C_2$
可以将其整理为以下形式:
$\frac{y^2}{2}-x^2=C$
其中,$C=C_2-C_1$ 也是一个常数。
因此,微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^2y^2}$ 的通解为 $\frac{y^2}{2}-x^2=C$,其中 $C$ 是一个常数。
### 回答3:
首先,该微分方程可以通过分离变量的方法求解。
将方程重新整理得到:
dy/y^2 = 2xdx/(x^2)
对等式的两边同时积分:
∫(dy/y^2) = ∫(2xdx/x^2)
对于左边的积分,我们可以利用基本积分公式 ∫(dx/x^n) = -1/(n-1) * x^(-n+1)。
∫(dy/y^2) = -1/y
对于右边的积分,我们可以将2和x分开,并将dx/x^2转化为d(1/x):
∫(2xdx/x^2) = 2∫(d(1/x)) = 2ln|x|
现在,我们可以将积分的结果代入原方程:
-1/y = 2ln|x|
将方程两边取倒数并移项得到:
y = -1/(2ln|x|)
所以,原微分方程的通解为:
y = -1/(2ln|x|),其中x ≠ 0.
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