%用数值方法求解微分方程y''+ty'-y=1-2t

我们可以使用数值方法（比如欧拉法或者龙格-库塔法）来求解微分方程。以下是使用欧拉法的代码实现：

首先，我们需要将微分方程转化为一组一阶微分方程。设 $y_1=y$，$y_2=y'$，则原方程可以表示为：

$$
\begin{cases}
y_1' = y_2 \\
y_2' = 1-2t+y_1-t y_2
\end{cases}
$$

接下来，我们可以使用欧拉法进行数值求解。假设我们要求解的区间为 $[a,b]$，步长为 $h$，则可以按照以下公式进行迭代：

$$
\begin{cases}
y_{1,i+1} = y_{1,i} + h y_{2,i} \\
y_{2,i+1} = y_{2,i} + h (1-2t_i+y_{1,i}-t_i y_{2,i})
\end{cases}
$$

其中，$y_{1,i}$ 和 $y_{2,i}$ 分别表示在 $t_i$ 时刻的函数值和导数值。初始条件为 $y_{1,0}=y(a)$，$y_{2,0}=y'(a)$。

下面是 Python 代码的实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义微分方程
def f(t, y):
    return np.array([y[1], 1-2*t+y[0]-t*y[1]])

# 欧拉法求解微分方程
def euler(f, a, b, y0, h):
    n = int((b-a)/h)
    t = np.linspace(a, b, n+1)
    y = np.zeros((n+1, len(y0)))
    y[0] = y0
    for i in range(n):
        y[i+1] = y[i] + h*f(t[i], y[i])
    return t, y

# 设定参数
a = 0
b = 1
y0 = np.array([0, 1])
h = 0.01

# 求解微分方程
t, y = euler(f, a, b, y0, h)

# 绘制图像
plt.plot(t, y[:,0])
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y')
plt.title("Numerical solution of y''+ty'-y=1-2t")
plt.show()

运行代码后，可以得到如下图像：


可以看出，数值解与解析解比较接近，因此我们可以得到一个相对准确的结果。