用数值方法求解下列微分方程,用不同颜色和线形将y和y画在同一个图形窗口里 y''+ty'-y=1-2t 初始时间:t0=0;终止时间:tf=pi;初始条件:y|t=0=0 y'|t=0=0.2
时间: 2024-01-24 13:17:07 浏览: 42
为了使用数值方法求解微分方程,我们将其转化为一个一阶微分方程组。假设 $y_1=y$, $y_2=y'$,则原微分方程可以写成如下形式:
$$
\begin{cases}
y_1' = y_2 \\
y_2' = 1-2t + y_1 - ty_2
\end{cases}
$$
现在我们可以使用 Python 中的 SciPy 库中的 `solve_ivp` 函数来求解上述微分方程组。首先,我们需要将上述微分方程组转换为一个函数,该函数将接受一个时间数组和一个状态数组,并返回该状态数组的导数值。
代码实现如下:
```python
from scipy.integrate import solve_ivp
import numpy as np
def f(t, y):
y1, y2 = y
return [y2, 1-2*t+y1-t*y2]
```
接下来,我们可以调用 `solve_ivp` 函数来求解微分方程组。在这里,我们将求解从 $t=0$ 到 $t=\pi$ 的微分方程,并使用 `linspace` 函数生成一个包含 100 个时间点的数组。我们还将微分方程的初始条件传递给 `solve_ivp` 函数。
代码实现如下:
```python
sol = solve_ivp(f, [0, np.pi], [0, 0.2], t_eval=np.linspace(0, np.pi, 100))
```
最后,我们可以使用 Matplotlib 库将 $y$ 和 $y'$ 画在同一个图形窗口里。代码实现如下:
```python
import matplotlib.pyplot as plt
y1 = sol.y[0]
y2 = sol.y[1]
plt.plot(sol.t, y1, 'b-', label='y')
plt.plot(sol.t, y2, 'r--', label='y\'')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('t')
plt.grid()
plt.show()
```
运行上述代码,我们可以得到如下图形:
![image.png](attachment:image.png)
在上图中,蓝色实线代表 $y$ ,红色虚线代表 $y'$ 。