利用拉氏变换求解下列微分方程组y‘-y=e^(2*t)-1,y(0)=0
时间: 2023-06-20 11:04:02 浏览: 65
首先,写出微分方程组的拉普拉斯变换:
$$
sY(s)-y(0)-Y(s) = \frac{1}{s-2} - \frac{1}{s} + \frac{1}{s}
$$
将 $y(0) = 0$ 代入上式,整理得:
$$
Y(s) = \frac{s-1}{s(s-1)(s-2)} + \frac{1}{s(s-1)}
$$
分解为部分分式:
$$
Y(s) = \frac{1}{2s} + \frac{1}{s-1} - \frac{1}{2(s-2)}
$$
对上式进行拉普拉斯反变换得:
$$
y(t) = \frac{1}{2} + e^t - \frac{1}{2}e^{-2t}
$$
因此,原微分方程组的解为 $y(t) = \frac{1}{2} + e^t - \frac{1}{2}e^{-2t}$。
相关问题
用Matlab求解下列常微分方程组:dx/dt+5*x+y=e^t,dy/dt-x-3*y=e^(2*t)
可以使用Matlab中的ode45函数求解该常微分方程组。
首先,我们需要定义一个匿名函数,表示该方程组:
```
f = @(t, y) [exp(t)-5*y(1)-y(2); exp(2*t)-y(1)-3*y(2)];
```
其中,y是一个2维向量,y(1)表示x,y(2)表示y。
然后,我们可以使用ode45函数求解该方程组:
```
[t, y] = ode45(f, [0, 1], [0, 0]);
```
其中,[0, 1]表示求解的区间为[0, 1],[0, 0]表示x|(t=0)=0,y|(t=0)=0,即初始条件。
最后,我们可以使用plot函数绘制结果:
```
plot(t, y(:, 1), t, y(:, 2));
legend('x', 'y');
```
完整代码如下:
```
f = @(t, y) [exp(t)-5*y(1)-y(2); exp(2*t)-y(1)-3*y(2)];
[t, y] = ode45(f, [0, 1], [0, 0]);
plot(t, y(:, 1), t, y(:, 2));
legend('x', 'y');
```
(x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = c ^ 2 * t1 ^ 2 (x - x2) ^ 2 + (y - y2) ^ 2 = c ^ 2 * t2 ^ 2 (x - x3) ^ 2 + (y - y3) ^ 2 = c ^ 2 * t3 ^ 2
上述方程组是一个二元二次方程组,可以通过求解来得到平面声源的坐标。将方程组进行展开,得到如下形式:
x^2 - 2*x*x1 + x1^2 + y^2 - 2*y*y1 + y1^2 = c^2*t1^2
x^2 - 2*x*x2 + x2^2 + y^2 - 2*y*y2 + y2^2 = c^2*t2^2
x^2 - 2*x*x3 + x3^2 + y^2 - 2*y*y3 + y3^2 = c^2*t3^2
将其中两个方程相减,可以消去x^2和y^2,得到一个一元二次方程。以第一和第二个方程为例:
x^2 - 2*x*x1 + x1^2 + y^2 - 2*y*y1 + y1^2 = c^2*t1^2
x^2 - 2*x*x2 + x2^2 + y^2 - 2*y*y2 + y2^2 = c^2*t2^2
将两个方程相减:
2*x1*x - 2*x2*x + x2^2 - x1^2 + 2*y1*y - 2*y2*y + y2^2 - y1^2 = c^2*(t2^2-t1^2)
整理得到:
a*x^2 + b*x + c = 0
其中,
a = 1
b = 2*(y2-y1)*x + 2*(x1-x2)*y + x2^2 + y2^2 - x1^2 - y1^2 - c^2*(t2^2-t1^2)
c = x1^2 + y1^2 - c^2*t1^2 - 2*y1*y + 2*y2*y + c^2*t2^2 - x2^2 - y2^2
这是一个一元二次方程,可以使用求根公式来解得x的值,再代入其中一个原方程求得y的值,即可得到平面声源的坐标。