有限元三结点三角形单元推导
时间: 2023-08-01 12:07:43 浏览: 122
有限元三结点三角形单元是常用的一种有限元单元,可以用来分析三角形区域的结构力学问题。以下是推导过程:
首先,我们假设三角形区域的形状函数为:
$$ N_1(\xi,\eta) = \xi $$
$$ N_2(\xi,\eta) = \eta $$
$$ N_3(\xi,\eta) = 1 - \xi - \eta $$
其中,$\xi$ 和 $\eta$ 是三角形区域内的局部坐标。
然后,我们需要推导单元刚度矩阵。单元刚度矩阵可以分为两部分,即弹性矩阵和几何矩阵。弹性矩阵可以通过材料性质计算得到,这里不再赘述。几何矩阵则需要根据形状函数计算。
对于三角形单元来说,几何矩阵可以表示为:
$$ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix} $$
其中,$x$ 和 $y$ 是三角形区域内的全局坐标。根据形状函数,我们可以得到:
$$ x = x_1N_1 + x_2N_2 + x_3N_3 $$
$$ y = y_1N_1 + y_2N_2 + y_3N_3 $$
将其代入上式,可以得到:
$$ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial N_1}{\partial \xi} & \frac{\partial N_2}{\partial \xi} & \frac{\partial N_3}{\partial \xi} \\ \frac{\partial N_1}{\partial \eta} & \frac{\partial N_2}{\partial \eta} & \frac{\partial N_3}{\partial \eta} \end{bmatrix} $$
接下来,我们需要计算几何矩阵的逆矩阵和行列式。根据公式,可以得到:
$$ J^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{\partial N_2}{\partial \eta} & \frac{\partial N_3}{\partial \eta} \\ \frac{\partial N_1}{\partial \xi} & \frac{\partial N_2}{\partial \xi} \end{bmatrix} \frac{1}{\det(J)} $$
$$ \det(J) = (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) $$
最后,我们可以得到三角形单元的刚度矩阵:
$$ K = \frac{E}{1-\nu^2} \int_{\Omega} B^TDB\det(J)d\xi d\eta $$
其中,$E$ 是杨氏模量,$\nu$ 是泊松比,$\Omega$ 是三角形区域,$B$ 是应变矩阵,$D$ 是弹性矩阵。根据计算公式,可以得到:
$$ B = \begin{bmatrix} \frac{\partial N_1}{\partial x} & 0 & \frac{\partial N_2}{\partial x} & 0 & \frac{\partial N_3}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac{\partial N_1}{\partial y} & 0 & \frac{\partial N_2}{\partial y} & 0 & \frac{\partial N_3}{\partial y} \\ \frac{\partial N_1}{\partial y} & \frac{\partial N_1}{\partial x} & \frac{\partial N_2}{\partial y} & \frac{\partial N_2}{\partial x} & \frac{\partial N_3}{\partial y} & \frac{\partial N_3}{\partial x} \end{bmatrix} $$
$$ D = \begin{bmatrix} \frac{1}{1-\nu} & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & \frac{1}{1-\nu} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} \end{bmatrix} $$
最终,我们可以将三角形单元刚度矩阵表示为:
$$ K = \frac{t}{2\det(J)} \begin{bmatrix} a & d & e & -a & -d & e \\ d & b & f & -d & -b & f \\ e & f & c & -e & -f & c \\ -a & -d & -e & a & d & -e \\ -d & -b & -f & d & b & -f \\ e & f & c & -e & -f & c \end{bmatrix} $$
其中,$t$ 是单元厚度,而 $a,b,c,d,e,f$ 是根据形状函数计算得到的系数。