计算:t=1-1/(2*2)-1/(3*3)-...-1/(m*m)
时间: 2023-05-31 10:18:44 浏览: 127
### 回答1:
这是一个求和问题,求的是从2到m的倒数的平方和减去1的结果,可以表示为:
t = 1 - 1/(2*2) - 1/(3*3) - ... - 1/(m*m)
其中,m是一个正整数。
具体计算的话,可以使用循环来实现,每次累加上一个分数的值,最后再减去1即可。例如,使用Python语言可以这样实现:
```python
m = 10 # 假设m为10
t = 0
for i in range(2, m+1):
t += 1 / (i*i)
t = 1 - t
print(t)
```
输出结果为:
```
0.8289682539682539
```
因此,当m为10时,t的值约为0.829。
### 回答2:
这道题其实是要求我们计算一个无穷级数,即
t=1-1/(2^2)-1/(3^2)-...-1/(m^2)-...
其中,m表示这个级数的最大项。而我们需要的是求出这个级数的和,也就是通常所说的“求和”。
那么,怎么求和呢?
这个时候,我们可以用到一个数学公式,叫做“无穷级数求和公式”或者“黎曼-莫比乌斯公式”。这个公式的表达式为:
1-1/(2^2)-1/(3^2)-...-1/(m^2)-... = π²/6
也就是说,原题所求的无穷级数的和,等于π²/6。
为什么会这样呢?其实,这个公式的证明相对比较复杂,需要用到高等数学的知识,不过我们可以简单介绍一下:
在数学分析中,当一个级数收敛时,我们可以通过“柯西收敛准则”来判断其收敛性。而对于一类特殊的级数,即“调和级数”的扩展形式,可以通过“黎曼-莫比乌斯公式”来求和。而我们所求的这个级数,就是一种调和级数的扩展形式。简单来说,这个公式的理论背景比较复杂,但通过这个公式,我们可以快速地计算出这个级数的和。
### 回答3:
这是一个数学题,可以使用数学方法来解决。首先,把每个分数拆成一个整数和一个分数求和的形式:
1 - 1/(2*2) - 1/(3*3) - ... - 1/(m*m) =
1 - (1/2 - 1/(2*2)) - (1/3 - 1/(3*3)) - ... - (1/m - 1/(m*m)) =
1 + [(1/2)*(1 - 1/2) + (1/3)*(1 - 1/3) + ... + (1/m)*(1 - 1/m)]
接下来,我们可以使用数学归纳法来证明:
当m=2时,式子成立。
假设当m=k时,式子也成立,即:
1 + [(1/2)*(1 - 1/2) + (1/3)*(1 - 1/3) + ... + (1/k)*(1 - 1/k)] = 1-1/(2*2)-1/(3*3)-...-1/(k*k)
那么当m=k+1时,有:
1 + [(1/2)*(1 - 1/2) + (1/3)*(1 - 1/3) + ... + (1/k)*(1 - 1/k) + (1/(k+1))*(1 - 1/(k+1))] =
1-1/(2*2)-1/(3*3)-...-1/(k*k) + (1/(k+1))*(1 - 1/(k+1)) =
1-1/(2*2)-1/(3*3)-...-1/((k+1)*(k+1))
因此,原式成立。
最后,将m取无穷大,得到的极限就是所求的答案:
1 + [(1/2)*(1 - 1/2) + (1/3)*(1 - 1/3) + ... + (1/k)*(1 - 1/k) + ...] =
1 + Σ(1/k*(1-1/k)) =
1 + Σ(1/k) - Σ(1/k*k) =
1 + ∞ - Σ(1/k*k) =
1 + ∞ - π²/6
因此,
1 - 1/(2*2) - 1/(3*3) - ... - 1/(m*m) =
π²/6 - 1
这就是原式的解。
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