Mathematica可计算文档：EvoDyn-3s-3策略游戏的分析

×*SoftwareX 7（2018）226EvoDyn-3s：一个Mathematica可计算文档，用于分析3策略游戏Luis R. Izquierdoa，*，Segismundo S.作者声明：William H.桑德霍尔姆c一 布尔戈斯大学土木工程系，A版，Avda。Cantabria s/n，布尔戈斯，09006，西班牙b巴利亚多利德大学，工业组织系，Paseo del Cauce 59，巴利亚多利德，47011，西班牙c威斯康星大学经济系，威斯康星大学，1180 Observatory Drive，Madison，WI 53706，USAar t i cl e i nf o文章历史记录：接收日期：2018年5月23日收到修订版，2018年7月18日接受，2018年7月18日关键词：进化动力学博弈论数学软件相图稳定性a b st ra ctEvoDyn-3s生成进化动力学的相图，以及用于分析其平衡的数据。所考虑的进化动力学是常微分方程的基础上发生的适应性过程中的球员谁是随机和反复匹配的夫妇玩一个2-玩家对称的正常形式的游戏，有三个战略的人口。EvoDyn-3s使用精确的算法计算动力学的静止点，并表示它们。它还提供了在孤立的休息点，这是有用的，以评估其局部稳定性的动力学雅可比矩阵的特征值用户只需要指定游戏的3 3收益矩阵并选择动态。版权所有©2018作者.由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本v1.0用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX_2018_63GNU通用公共许可证（GPL）使用GitHub的代码版本控制系统使用Mathematica的软件代码语言、工具和服务大多数EvoDyn-3s的功能可以与免费的Wolfram CDF一起播放机完整的功能需要Mathematica。Wolfram CDF Player和Mathematica都可以在Windows、Mac和Linux如果可用，链接到开发人员文档/手册可计算文档问题支持电子邮件lrizquierdo@ubu.es软件元数据当前软件版本v1.0此版本可执行文件的永久链接https://github.com/luis-r-izquierdo/EvoDyn-3s/releases/tag/v1.0GNU通用公共许可证（GPL）计算平台/操作系统任何可以运行Wolfram CDF文件的平台。例如Windows、Mac、Linux和iOS。大多数EvoDyn-3s的功能可以与免费的Wolfram CDF Player一起完整的功能需要Mathematica。如果可用，请链接到用户手册-如果正式出版，请在参考列表包含在可计算文档问题支持电子邮件lrizquierdo@ubu.es通讯作者。电子邮件地址：lrizquierdo@ubu.es（L.R. Izquierdo），segis@eii.uva.es（S.S.Izquierdo），whs@ssc.wisc.edu（W.H. Sandholm）。网址：http://www.luis.izqui.org（L.R. Izquierdo），http://www.segis.izqui.org（S.S.Izquierdo），http://www.ssc.wisc.edu/Sandholm）。https://doi.org/10.1016/j.softx.2018.07.0062352-7110/©2018作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softxL.R. Izquierdo等人/SoftwareX 7（2018）226227i=1联系我们联系我们×∑×1. 动机和意义可能采取不同行动的代理之间的社会和生物交互通常被建模为游戏。通常，这些游戏是从适应性或进化的角度来研究的，导致常微分方程系统被称为进化博弈动力学。一个典型的例子是复制动力学[1一般来说，进化博弈动力学的许多基本性质可以用具有三种策略的博弈来说明[5，6]，并且经常在这个框架中研究合作进化的应用[7]。为了理解和分析具有三种策略的进化博弈动力学，最有用和最直观的工具之一是相图，它是动力系统在相平面上的轨迹的几何表示。生成这种类型的图通常需要昂贵的软件或定制的编程，这对许多研究进化过程的研究人员来说是一个相当大的障碍。EvoDyn-3s旨在克服这一障碍。具体而言，EvoDyn-3s提供了高品质的打印准备矢量相位画像的进化游戏动力学与三种策略的不同群体。使用它不需要任何编程，它的大部分功能都可以通过免费的Wolfram CDF Player运行。1EvoDyn-3s还计算并呈现了图1显示了EvoDyn-3s的界面。左侧部分包含一系列输入框和用于设置所有参数值的右边的部分显示了程序的主要输出：二维单纯形中的相图，显示所有孤立静止点和在每个孤立静止点处所选动态的雅可比矩阵的特征值的表（如果雅可比矩阵被定义），以及显示静止点的分量的另一个表（如果存在）。改变任何参数的值（除了支付矩阵）对相图和对静止点和特征值的计算的影响是直接的，即不需要编译或编译程序。2因此，例如，用户可以逐渐移动任何参数滑块，并立即了解这种变化如何影响程序的输出2.1. 软件构架EvoDyn-3s进行以下高级操作，如图所示。第二章：使用用户提供的以下输入创建微分方程组：收益矩阵、基线动态、随机策略概率μ，以及-所生成的微分方程组为形式（xstec，xstec，xstec）=f（x，x，x），其中x表示平衡的选定的动态和执行一个特征值123123我使用精确算法分析线性化动态，这是其他程序所不具备的功能，对理论分析非常有用。与EvoDyn-3s最密切相关的软件是Dynamo[8，9]。Dynamo也是在Mathematica上运行的开源软件，也被设计用于创建相图和其他使用策略i的人口比例。在各种初始条件下数值求解微分方程组并表示解。初始条件的数量和计算轨迹的长度可以由用户控制。表示一系列轨道和箭头，方向 的 运动 在 的 二维单形与进化博弈中的动力系统相关的图像-奥里。Dynamo可以用来生成单种群的图{（x1，x2，x3）}|3·x i=1且x i≥ 0}。有3或4个策略的博弈和一些多种群博弈。Dynamo比EvoDyn-3s更灵活和通用，但明显不那么用户友好，并且它使用数值近似而不是精确算法。另一个与EvoDyn-3s有点相关的软件是PDF10，这是一组用Matlab编码的函数，用于分析一些进化动力学，以及与这些动 力学 相关 的基于 有限 种群 代理的 模型 。 Python 软件 包egtplot[11]创建了复制子动力学的相图。虽然比EvoDyn-3s范围更窄，用户友好性更差，但egtplot具有在开源平台上运行的值得称赞的特性。最后，ABED[12]（基于代理的E演化D模型）也是用于模拟自适应过程的免费且完全开源的软件，但在有限种群中。它为EvoDyn-3s中遵循的进化动力学分析提供了一种补充方法，因为ABED中考虑和实施的许多自适应过程（遵循基于代理的方法）可以近似-对于足够大的人口-通过微分方程，对EvoDyn- 3s中实施的进化动力学做出响应。2. 软件描述EvoDyn-3s是用Mathematica语言编写的可计算文档。该文档包含可执行程序、如何使用它的详细说明以及源代码。不需要编译代码。该程序可以直接使用，只需使用免费的Wolfram CDFPlayer或Mathematica打开可计算文档即可。1 EvoDyn-3s根据动态的速度，使用用户选择的颜色梯度为单纯形的背景着色。使用精确算法计算动力学的静止点。计算孤立静止点的数值近似。在表中显示它们，并在二维单纯形中表示它们。对于定义了雅可比矩阵的动力学，使用精确算法计算动力学雅可比矩阵在精确孤立静止点处的特征值。计算本征值的数值近似值，并将其显示在表中。在表格中显示静止点的分量，并在二维单纯形中表示它们。2.2. 软件功能EvoDyn-3s生成进化游戏动力学的相图，根据其速度（即导数向量的模）对背景进行着色，计算静止点，并提供雅可比矩阵在孤立静止点处的特征值，以分析其局部稳定性（在定义雅可比矩阵的动力学中）。用户可以通过设置3 3收益矩阵的值aij来分析任何3 3游戏，该值表示使用策略i1， 2， 3的玩家与使用策略j1， 2， 3的玩家交互时获得的收益。还有一个预定义的游戏列表，用户可以从中选择。2 收益矩阵不会自动更新，只有当用户点击“更新”按钮时才会自动更新。这是一个有目的的实现，因为用户经常希望同时更改多个支付值。·······228L.R. Izquierdo等人/SoftwareX 7（2018）226stec= 3stec= − +−Fig. 1. EvoDyn-3s的接口。接口中的下一个参数是dynamic。 一个弹出式菜单显示了可用的进化游戏动态列表，详细信息见附录。这些构成了我们在这里所说的基线动态，因为它们不考虑噪声。参数 µ， 称为 ''概率 的 随机 strategy’’,‘‘noise’’, 这种随机策略的选择可以基于突变、错误或实验。形式上，如果xifi（x1，x2，x3）对应于详细描述的基线进化动力学之一，在附录中，当μm =“Export figure”（导出图形）按钮生成一个可供照相机使用的矢量pdf文件，包括一个显示静止点分量的表格和一个显示孤立静止点及其相应特征值的数值近似值的“生成完整报告”按钮生成一个Mathematica笔记本，详细说明与选定动力学、相图以及0由xi（1 ）i（x1，x2，x3）µ （ 1xi）。小这种修改可以对游戏动态产生重要的定性影响（参见例如[13，14]和[15]）。用户还可以很容易地选择在单纯形中表示的轨迹的数量（没有，很少，一些或很多），显示这些轨迹的线的长度，以及用于表示动态速度的颜色梯度参数maxTimeOut确定允许程序花费在计算动力学精确静止点上的最大时间默认值为1 s，在大多数情况下已经足够最后，有两个按钮用于实现需要在Mathematica中运行EvoDyn-3s的功能：该报告还包括对精确值。3. 说明性实例3.1. 超循环系统超循环系统是在[16]中引入的一个常微分方程，用于模拟以循环、自催化方式连接的自复制分子的组织。该方程可以表示为复制子动力学的一个实例，因此三种大分子混合物的超循环系统可以··L.R. Izquierdo等人/SoftwareX 7（2018）2262296（）图二. EvoDyn-3s的整体架构。图中的符号N表示数值近似。直接用EvoDyn-3进行建模。 图 3示出了对该系统建模所需的参数值以及由此获得的输出。很明显，这个超循环系统的所有内部解都收敛于单纯形的重心，如文[17]所证明的”[18]。EvoDyn-3s报告了雅可比矩阵在重心处的精确特征值，即1− 1 ±i 3，以及它们的数值近似值− 0。167 ± 0。289i.230L.R. Izquierdo等人/SoftwareX 7（2018）2263.2. Zeeman图三. 三大分子超循环系统。除了小数近似，EvoDyn-3s还提供了选定动力学的静止点和特征值塞曼 图图4示出了对塞曼博弈建模所需的参数值以及由此获得的输出。这个博弈的内部纳什均衡（即单纯形的重心）不是ESS，但仍然是渐近稳定的。这是清楚地看到，注意到雅可比矩阵的两个特征值的实部，在这个静止点为负值。EvoDyn-3s报告了在孤立的休息点（雅可比矩阵的定义）使用精确的算术。这意味着，特别是，如果一个解决方案是一个有理数，不承认一个有限的十进制表示，EvoDyn-3s提供的有理数。类似地，如果解是不允许有理表示的代数数，则EvoDyn-3s提供代数数。3精确计算静止点对于严格的局部稳定性分析至关重要[20]。• EvoDyn-3s可以使用免费软件运行它不需要重心处的雅可比矩阵，即−1±i2，以及它们的数值昂贵的软件许可证，如Mathematica或Matlab。3 3近似值-0。333 ± 0。四七一岛4. 影响EvoDyn-3s的以下功能将其与其他程序（如Dynamo，PDESTs和egplot）区分开来，并使其对研究特别有用：进化动力学的选择考虑在EvoDyn-3s（详见附录）包括新的EvoDyn-3s可以与免费的Wolfram CDF Player一起运行，该播放器为Windows，Mac和Linux系统提供桌面功能，它也可以在某些移动平台上运行（例如运行iOS的平台）。在自由软件上运行EvoDyn-3s时，唯一缺少的功能是动态创建输出文件。EvoDyn-3s设计为通过简单直观的用户界面使用。它不需要任何编程知识。用户只需进化动力学，基于与部分信息.其中一些动力学在任何其他程序中都不可用，并且仅在最近的论文中进行了研究（例如，[20、21]）。[3]超过四次，大多数多项式没有可以用根式表示的根。不能用根式表示的代数数的一个例子是多项式x5−x− 1的任何根。···L.R. Izquierdo等人/SoftwareX 7（2018）2262313j=1aij xj和平均预期收益∑∑i=1见图4。 塞曼游戏中的复制者动态指定游戏的收益矩阵，并使用鼠标选择可用的动态之一为了提供这种类型的软件的兴趣和潜在应用的想法，我们注意到-即使由于需要拥有Mathematica许可证并拥有Mathematica环境的一些（基本）知识而导致的障碍进入- Dynamo已被用作尖端研究的支持软件，并在该领域的领先期刊上发表的文章中生成高质量的图形，例如游戏和经济行为[ 22，23 ]，经济理论杂志[ 24 ]，理论生物学5. 结论EvoDyn-3s是一个开源软件，可以生成各种进化游戏动力学和数据的相位特征进行分析他们的平衡。它包括经典和新的进化动力学，致谢感谢NSF Grant SES-1728853、美国陆军研究办公室GrantMSN 201957、西班牙MECD授予的Grant PRX 15/00362和PRX16/00048以及西班牙科学与创新部的项目ECO 2017 -83147-C2-2-P（MINECO/AEI/FEDER，UE）的财政支持 我们也非常感谢https：//martica.com社区。stackexchange.com网站。阑尾 进化博弈动力学公式EvoDyn-3s中实现的基线进化动力学是：复制器[1每个策略份额的增长率与其流行率x i和该策略的预期收益π i = π i之间的差（πi−π<$）成正比。它可以运行在自由软件和不同的平台上，它不需要任何编程知识，它提供了准确的结果求出静止点及其对应的特征值。除了对分析进化动力学有用之外，它还旨在生成可供拍摄的高质量图表以供出版。π<$=3xiπi.xsteci=xi（πi−π<$）史密斯[29，30]。从策略j到策略i的流量与策略j的流行率xj成比例，并且与策略i的流行率x j成比例。··232L.R. Izquierdo等人/SoftwareX 7（2018）226•[]=≤∑∑−terme（e）.- -→steci = ∑πkη−1 −i==≤- -e的缩写3 33K M预期收益差πi−πj，只要这个差随机参与人的策略是积极的。3 3∑xjxstec=∑x[π−π]-x∑[π−π]xsteci=0#BR（j）−xiIj我j=1j+ij i+j=1i∈BR（j）其中，BR（j）是最佳重新分配策略的子集其中函数[a]+使得如果a>0，则[a]+=a，并且a+0，如果a0 的情况。Brown–von Neumann–Nash [ 从流-策略i的收益j与策略j的流行率xj和预期收益差πi成正比π，如果它是积极的。3xsteci=[πi−π<$]+−xi[πj−π<$]+j=1Logit [37从策略j到策略i的流量与策略j的流行率xj和logit成比例πiη−1πkη−11Keπiη−1XxKe参数η调节收益差异对动态的影响。As η0收益差异的影响变得更加尖锐，Logit动态接近最佳响应动态。单匹配模拟logit。这是一个模仿过程的平均动态，在这个过程中，参与者在与另一个参与者的随机比赛中获得收益，并偶尔修改他们的策略。一个修正代理人观察另一个随机选择的参与者（以及他获得的收益），并选择一个概率与两个获得的收益的logit因子成比例的策略。响应于策略j，即， {i：a ij= Max k（a kj）}。引用[1] 泰勒警察局，Jonker L.演化稳定策略与博弈动态。 MathBiosci1978;40：145-56.[2] 赫尔宾湾通过对相互作用的行为变化的数学模型。In：Haag G，Mueller U，Troitzsch KG ， editors. 经 济 演 变 与 人 口 变 化 ： 社 会 科 学 中 的 形 式 模 型 。Berlin：Springer;1992. p. 330比48[3] Schlag KH.为什么要模仿？如果是，又是如何模仿的？对付多武装匪徒的绝对理性的方法J Econom Theory1998;78：130-56.[4] 胡福宝，《博弈的动态模拟》，未出版手稿，1995年，维也纳大学[5] 威布尔JW。进化博弈论剑桥：麻省理工学院出版社.[6] 桑德霍姆种群博弈与进化动力学。剑桥：麻省理工学院出版社.[7] 西格蒙德·K自私的计算。普林斯顿：普林斯顿大学出版社.[8] Sandholm WH ， Dokumacirie ， Franchetti F.Dynamo ： Diagrams forevolutionarygamedynamics，Software.http://www.ssc.wisc.edu/~whs/dynamo网站。[9] Franchetti F，Sandholm WH. 发电机导论：进化博弈动力学图。Biol Theory2013;8（2）：167-78. http：//www.example.comdx.doi.org/10。1007/s13752-013-0109-z。[10] 巴 雷 托 角 Population dynamics plugin （ PDF-Software ） .https ： //github.com/carlobar/PDC-based_matlab.[11] Mirzaev I，Williamson DFK，Scott JG. egtplot：一个三策略进化游戏的python 包 .J. 开 源 软 件 2018;3 （ 26 ） ： 735 。 得 双 曲 正 切 值 .doi.org/10.21105/joss.00735。[12] Izquierdo LR，Izquierdo SS，Sandholm WH. 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Izquierdo等人/SoftwareX 7（2018）226233[29] 史 密 斯 MJ 交 通 分 配 动 态 模 型 的 稳 定 性 - 李 雅 普 诺 夫 方 法 的 应 用 。 TranspSci1984;18：245-52.[30] 桑德霍姆纳什均衡的成对比较动力学和进化基础。游戏2010;1：3-17。[31] 布朗GW，冯诺依曼J。解的游戏微分方程。见：Kuhn HW，Tucker AW，编辑。对博弈论的贡献I。数学研究年鉴，第24卷，普林斯顿：普林斯顿大学出版社，1950年。p. 七三比九[32] NashJF.非合作游戏 Annof Math 1951;54：287-95.[33] 斯基尔姆斯湾理性思考的动力剑桥：哈佛大学出版社，1990.[34] SwinkelsJM.游戏中的调整动态和理性游戏 GamesEconomBehav1993;5：455-84.[35] 威布尔JW。集体行动的解释。摘自约翰·纳什在博弈论中的工作：诺贝尔研讨会，1994年12月8日。J Econom Theory1996;69：165-71.[36] 霍夫鲍尔 从纳什和布朗到梅纳德·史密斯：均衡、动态和ESS。选择2000;1：81-8。[37] BlumeLE.人口游戏。In：Arthur WB，Durlauf SN，Lane DA，editors. 经济作为一个演化的复杂系统2。Reading，MA：Addison-Wesley;1997. p. 425比60[38] 放大图片作者：J.游戏学习理论。剑桥：麻省理工学院出版社.[39] 作者声明：John W. 随机干扰收益博弈的演化。《经济理论》2007;132：47-69.[40] Izquierdo SS ， Izquierdo LR. 随 机 近 似 理 解 简 单 的 模 拟 模 型 。 J Stat Phys2013;151（1）：254-76. http://dx.doi的网站。7/s10955-012-0654-z.[41] 塞西河程序理性局中人博弈均衡的稳定性。Games Econom Behav2000;32：85-104.[42] 桑德霍姆几乎全局收敛到p-优势均衡.《国际博弈论杂志》2001;30：107-16.[43] Kosfeld M，Droste E，Voorneveld M.导致最佳回复匹配的近视调整过程。《经济理论》2002;40：270-98.