输入一个正整数n的值(n不超过20)，编程输出n!(n的阶乘)。程序中的整数请定义成long long型。请定义递归函数计算阶乘。

### 回答1：
以下是用C++编写的递归函数计算n!的程序：

#include<iostream>
using namespace std;
long long factorial(int n) {
    if(n == 1) {
        return 1;
    }
    return n * factorial(n-1);
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << n << "!=" << factorial(n) << endl;
    return 0;
}

输入n的值，输出n!。

### 回答2：
阶乘是指从1连乘到n的结果，用数学公式表示为n! = 1 × 2 × 3 × … × (n-1) × n。要求编写一个递归函数来计算n的阶乘。

递归函数的实现如下：

long long factorial(int n){
    if(n == 1 || n == 0)    // 边界条件 
        return 1;   
    else 
        return n * factorial(n-1);    // 递归调用 
}

首先，判断边界条件，若n为1或0，则返回1；否则递归调用自身，将n乘以n-1的阶乘，直至n等于1或0为止。递归函数的实现时要注意返回值类型为long long型，以避免阶乘结果过大而导致溢出。

主函数中，先输入正整数n的值，并进行数据类型检查，然后调用递归函数输出n的阶乘。

完整代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

long long factorial(int n){
    if(n == 1 || n == 0)    // 边界条件 
        return 1;   
    else 
        return n * factorial(n-1);    // 递归调用 
}

int main(){
    int n;
    cout << "请输入一个正整数n(n不超过20)：" << endl;
    cin >> n;
    if(n < 0 || n > 20){
        cout << "输入不合法，请重新输入" << endl;
        main();
    }
    else{
        cout << n << "的阶乘为：" << factorial(n) << endl;
    }
    return 0;
}

注意，由于用户输入的n可能不符合要求，因此需加入数据类型检查，若n小于0或大于20则输出提示信息并重新调用主函数，否则调用递归函数输出结果。

### 回答3：
阶乘是指一个数与小于它的所有正整数的积，如3! = 3 × 2 × 1 = 6。

编写一个递归函数来计算阶乘，可以使用以下算法：

1. 如果 n 等于 0 或 1，返回 1
2. 否则，返回 n * factorial(n-1)

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

long long factorial(int n) {
    if(n == 0 || n == 1) { // base case
        return 1;
    } else {
        return n * factorial(n - 1); // recursive case
    }
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << factorial(n) << endl;
    return 0;
}

在主函数中，我们输入一个正整数 n 并调用递归函数来计算 n 的阶乘。注意，我们将 n 定义为 int 类型，但在递归函数中，我们将其传递为 long long 类型，以防止阶乘的计算结果溢出。

如果 n 输入为 5，程序将输出 120，即 5 的阶乘。