matlab求x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),y(t)=Cx(k)+Du(k-t)的增广系统矩阵
时间: 2023-06-16 15:03:45 浏览: 39
假设系统的状态向量为$x(t)$,输入向量为$u(t)$,输出向量为$y(t)$,则有:
$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
x(k+1)\\
y(k+1)
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
A & B\\
C & D
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x(k)\\
u(k-t)
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
A & B\\
C & D
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x(k)\\
u(k)-u(k-1)+u(k-1)-u(k-2)+\cdots+u(k-t+1)-u(k-t)
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
A & B\\
C & D
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x(k)\\
u(k)-u(k-1)+u(k-1)-u(k-2)+\cdots+u(k-t+1)-u(k-t)\\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
因此,增广系统矩阵为:
$$
\begin{bmatrix}
A & B\\
C & D
\end{bmatrix}
$$
相关问题
matlab求x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),y(t)=Cx(k)+Du(k-t)的增广系统矩阵并求增广系统矩阵的谱半径
对于线性系统$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),y(t)=Cx(k)+Du(k-t)$,其增广系统可以表示为:
$$
\begin{bmatrix}
x(k+1)\\
y(k)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A & 0\\
C & D
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x(k)\\
u(k-t)
\end{bmatrix}
$$
其中,$0$表示一个全零矩阵,其维度与$A$相同。
增广系统矩阵为$\begin{bmatrix}A & 0\\C & D\end{bmatrix}$,其谱半径为增广系统矩阵的最大特征值的模。可以使用Matlab中的`eig`函数求解增广系统矩阵的特征值,然后取其模的最大值即可。具体的实现代码如下:
```matlab
% 系统参数
A = [1 1; 0 1];
B = [1; 0];
C = [1 0];
D = 0;
t = 1; % 时滞
% 增广系统矩阵
M = [A zeros(size(A)); C D];
% 计算谱半径
rho = max(abs(eig(M)));
disp(['增广系统的谱半径为:' num2str(rho)]);
```
其中,`size(A)`表示矩阵$A$的维度,`zeros(size(A))`表示一个与$A$维度相同的全零矩阵。`abs`函数用于取特征值的模,`max`函数用于取模的最大值。
matlab求状态反馈矩阵k
为了求解状态反馈矩阵K,需要先确定系统的状态空间表示。设系统的状态空间表示为:
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中,A、B、C、D是系统的状态空间矩阵。假设系统是可控的,那么可以使用极点配置法求解状态反馈矩阵K,具体步骤如下:
1. 确定系统的极点位置,即希望系统在闭环状态下达到的稳态响应特性。
2. 根据所确定的极点位置,计算出理想的闭环特征多项式。
3. 计算出系统的可控性矩阵:
Qc = [B, AB, A^2B, ..., A^(n-1)B]
其中,n为系统的状态维度。
4. 计算出反馈矩阵K:
K = (p(A)Qc)^(-1) * [0, 0, ..., 0, 1]
其中,p(A)为理想的闭环特征多项式,^(-1)表示矩阵的逆。
这样,就可以求解得到状态反馈矩阵K。需要注意的是,在实际应用中,还需要考虑到系统的可观性等因素,以保证反馈控制器的有效性。
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