7-1 【模板】kmp字符串匹配 (20 分)

### 回答1：
题目描述

给定两个字符串 S 和 T，要求在 S 中找到 T 出现的所有位置。

输入格式

第一行输入一个整数 N，表示字符串 S 的长度。

第二行输入字符串 S。

第三行输入一个整数 M，表示字符串 T 的长度。

第四行输入字符串 T。

输出格式

输出所有匹配的位置，每个位置占一行。

如果不存在匹配的位置，输出 -1。

样例

输入样例：
13
ababcabcacbab
3
abc
输出样例：
2
5
8

算法1

(暴力枚举) $O(nm)$

暴力枚举，时间复杂度 $O(nm)$。

时间复杂度

参考文献

python3 代码

C++ 代码

算法2

(KMP) $O(n+m)$

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

### 回答2：
KMP算法是字符串匹配的经典算法之一，在实际应用中具有非常广泛的应用，尤其是在文本处理、搜索引擎、数据挖掘等领域中都占有非常重要的地位。

KMP算法的核心思想是，当在匹配字符串中发现不匹配的字符时，可以利用已经匹配的部分信息来避免不必要的回溯，从而提高匹配效率。其具体实现的步骤如下：

1. 对于模式串P，求出其每个位置i对应的最长前缀后缀匹配长度next[i]，即next[i]表示P[0:i-1]中最长的既是P的前缀又是P的后缀的子串长度。

2. 在匹配过程中，当主串T与模式串P的某个位置不匹配时，利用已经匹配的部分信息，将模式串向后移动j-next[j]个字符，再次进行匹配。

3. 如果模式串P已经完全匹配了主串T，则表示在T中找到了P，返回匹配的位置。

KMP算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别是主串T和模式串P的长度。相比经典的暴力匹配算法，KMP算法显著提高了匹配的效率，其核心思想也为其他字符串匹配算法的优化提供了宝贵的思路。

### 回答3：
kmp字符串匹配算法是一种高效的字符串匹配算法，它可以在O(n+m)的时间内完成字符串匹配，其中n为文本串的长度，m为模式串的长度。

kmp算法的实现是基于一个模式串前缀数组next数组的构建，next数组表示每个前缀的最长公共前后缀的长度。在匹配文本串和模式串的时候，通过比较匹配过程中的next值来实现跳过多余的比较操作，从而提高匹配效率。

具体的kmp算法实现步骤如下：

1. 构建模式串的前缀数组next数组
2. 在文本串上匹配模式串，比较过程中利用next数组进行跳过多余比较操作。

构建next数组的方法是通过对模式串本身进行遍历，求解每个前缀的最长公共前后缀长度。以模式串“ABABC”的前缀数组为例，其可以表示为：

- A的前缀为空集，所以next[0]=-1
- AB的前缀为A，不存在公共前后缀，所以next[1]=0
- ABA的前缀为A和AB，不存在公共前后缀，所以next[2]=0
- ABAB的前缀为A、AB和ABA，前两个前缀没有公共前后缀，最后一个前缀的公共前后缀为A，所以next[3]=1
- ABABC的前缀为A、AB、ABA和ABAB，前三个前缀没有公共前后缀，最后一个前缀的公共前后缀为AB，所以next[4]=2

在匹配文本串和模式串的时候，可以利用next数组来跳过多余的比较操作。当匹配过程中发现模式串与文本串不匹配时，可以根据next数组的值进行模式串的移动，移动的长度为失配字符对应的next值。例如，在文本串“ABABABABC”和模式串“ABABC”匹配过程中，当发现模式串的第三个字符B与文本串的第六个字符C不匹配时，可以根据next[2]的值2将模式串的位置移动到第三个字符B处，而不需要将模式串从头开始进行匹配。

总之，kmp算法的主要思想是通过构建模式串的前缀数组来实现跳过多余的比较操作，在匹配过程中提高效率。其时间复杂度为O(n+m)，是一种常用的字符串匹配算法。