UG8.5 没有UF_MTX_build_matrix_from_axes函数

在 PGI 编译器的文档中，确实没有找到 `UF_MTX_build_matrix_from_axes` 函数的相关信息。不过，根据函数名可以猜测其作用是从给定的坐标轴构造一个矩阵。在 UG/NX API 中，有一个名为 `UF_MTX_build_matrix` 的函数，可以用于构造任意给定的矩阵。具体使用方法可以参考 UG/NX API 的文档或者示例代码。

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UF_MTX_to_tridiag(A, n) 函数和UF_MTX_tqli(T, w, v, n)函数和UF_MTX_from_tri_eig(A, T, w, v, n)分别实现这三个函数

1. UF_MTX_to_tridiag(A, n)函数：将一个$n\times n$的对称矩阵$A$转化为对称三对角矩阵$T$。代码如下：

void UF_MTX_to_tridiag(double **A, int n, double **T) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            T[i][j] = A[i][j];
        }
    }
    for (int k = 0; k < n - 2; k++) {
        double *x = new double[n - k];
        double *v = new double[n - k];
        for (int i = k + 1; i < n; i++) {
            x[i - k - 1] = T[i][k];
        }
        double alpha = 0.0;
        for (int i = 0; i < n - k - 1; i++) {
            alpha += x[i] * x[i];
        }
        alpha = sqrt(alpha);
        if (x[0] > 0) {
            alpha = -alpha;
        }
        double beta = 1.0 / (alpha * (alpha - x[0]));
        T[k + 1][k] = -alpha;
        for (int i = k + 2; i < n; i++) {
            T[i][k] = 0.0;
        }
        for (int j = k + 1; j < n; j++) {
            double sum = 0.0;
            for (int i = k + 1; i < n; i++) {
                sum += T[i][j] * x[i - k - 1];
            }
            double tau = beta * sum;
            for (int i = k + 1; i < n; i++) {
                T[i][j] -= tau * x[i - k - 1];
            }
        }
        delete[] x;
        delete[] v;
    }
}

2. UF_MTX_tqli(T, w, v, n)函数：对对称三对角矩阵$T$进行求解，得到其特征值和特征向量。代码如下：

void UF_MTX_tqli(double **T, double *w, double **v, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        v[i][i] = 1.0;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        w[i - 1] = T[i - 1][i];
        T[i - 1][i - 1] = T[i][i - 1] = 0.0;
        double alpha = T[i][i];
        double beta = sqrt(alpha * alpha + w[i - 1] * w[i - 1]);
        if (beta == 0.0) {
            continue;
        }
        if (alpha < 0.0) {
            beta = -beta;
        }
        w[i - 1] = (w[i - 1] / alpha) / beta;
        T[i][i - 1] = -beta;
        T[i][i] = alpha / beta;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            double sum = 0.0;
            for (int k = i; k < n; k++) {
                sum += T[k][i - 1] * T[k][j];
            }
            double tau = sum / T[i][i - 1];
            for (int k = i; k < n; k++) {
                T[k][j] -= tau * T[k][i - 1];
            }
        }
    }
    w[n - 1] = T[n - 1][n - 1];
    T[n - 1][n - 1] = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double sum = 0.0;
        for (int j = i; j < n; j++) {
            sum += T[i][j] * v[j][n - 1];
        }
        double tau = sum / w[n - 1];
        for (int j = i; j < n; j++) {
            v[j][i] = v[j][n - 1] - tau * T[i][j];
        }
    }
}

3. UF_MTX_from_tri_eig(A, T, w, v, n)函数：利用特征值和特征向量构造出对称矩阵$A$。代码如下：

void UF_MTX_from_tri_eig(double **A, double **T, double *w, double **v, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            A[i][j] = 0.0;
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                A[i][j] += v[i][k] * w[k] * v[j][k];
            }
        }
    }
}

UF_MTX_dsyev 函数和 UF_MTX_swap_cols 函数。如何实现这两个函数。

UF_MTX_dsyev 函数是用于求解实对称矩阵的特征值和特征向量的函数。下面是一个基本的实现方法：

1. 首先，将实对称矩阵 A 转化为对称三对角矩阵 T，这可以通过 Householder 变换或 Givens 变换来实现。

2. 然后，使用 QR 方法求解对称三对角矩阵 T 的特征值和特征向量。

3. 最后，通过变换得到实对称矩阵 A 的特征值和特征向量。

下面是一个简单的伪代码实现：

// A: 实对称矩阵
// n: 矩阵大小
// w: 存储特征值
// v: 存储特征向量
void UF_MTX_dsyev(double *A, int n, double *w, double *v) {
    // 将 A 转化为对称三对角矩阵 T
    UF_MTX_to_tridiag(A, n);

    // 使用 QR 方法求解 T 的特征值和特征向量
    UF_MTX_tqli(T, w, v, n);

    // 变换得到 A 的特征值和特征向量
    UF_MTX_from_tri_eig(A, T, w, v, n);
}

UF_MTX_swap_cols 函数是用于交换矩阵 A 中的两列的函数。下面是一个简单的实现方法：

// A: 待交换列的矩阵
// n: 矩阵大小
// i, j: 待交换的两列的下标
void UF_MTX_swap_cols(double *A, int n, int i, int j) {
    double temp;

    // 交换第 i 列和第 j 列的元素
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        temp = A[k*n+i];
        A[k*n+i] = A[k*n+j];
        A[k*n+j] = temp;
    }
}

这个函数的实现很简单，只需要遍历矩阵中所有的行，交换第 i 列和第 j 列上的元素即可。