有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱(n<100000)，有多少中组合可以组成n分钱？

这是一个比较经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法来解决。

首先，我们定义一个一维数组 dp，其中 dp[i] 表示组成 i 分钱所需的硬币组合数。因为每种硬币数量无限，所以在计算 dp[i] 时，我们需要考虑使用当前硬币和不使用当前硬币两种情况。

对于第一种情况，即使用当前硬币，那么组成 i 分钱的组合数就等于组成 i-coin 分钱的组合数加上当前硬币的一种组合数，其中 coin 表示当前硬币的面值。

对于第二种情况，即不使用当前硬币，那么组成 i 分钱的组合数就等于组成 i 分钱的组合数。

因此，我们可以得到状态转移方程：

dp[i] = dp[i] + dp[i-coin]

其中，coin 可以取 1 分、2 分、5 分、10 分这四种硬币。

最终，dp[n] 就是组成 n 分钱的组合数。

以下是 Python 代码实现：

def coinChange(n):
    coins = [1, 2, 5, 10]
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 1
    for coin in coins:
        for i in range(coin, n+1):
            dp[i] += dp[i-coin]
    return dp[n]

这个算法的时间复杂度是 O(n)，可以在较短的时间内得到结果。

相关问题

有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱(n<100000)，有多少中组合可以组成n分钱

这是一道经典的动态规划问题，可以使用动态规划求解。

设 $dp[i]$ 表示组成 $i$ 分钱的方案数，则有：

$$
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-5] + dp[i-10]
$$

其中，$dp[i-1]$ 表示在组成 $i$ 分钱的方案中包含了一枚 $1$ 分硬币，$dp[i-2]$ 表示在组成 $i$ 分钱的方案中包含了一枚 $2$ 分硬币，$dp[i-5]$ 表示在组成 $i$ 分钱的方案中包含了一枚 $5$ 分硬币，$dp[i-10]$ 表示在组成 $i$ 分钱的方案中包含了一枚 $10$ 分硬币。

边界条件为 $dp[0]=1$，即不选取任何硬币时，方案数为 $1$。

最终答案为 $dp[n]$。

下面是该问题的 Python 代码实现：

def coin_combinations(n):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        if i >= 1:
            dp[i] += dp[i-1]
        if i >= 2:
            dp[i] += dp[i-2]
        if i >= 5:
            dp[i] += dp[i-5]
        if i >= 10:
            dp[i] += dp[i-10]
    return dp[n]

例如，输入 $n=12$，则输出 $dp[12]=61$，表示有 $61$ 种不同的组合方式可以组成 $12$ 分钱。

2.换硬币问题一元人民币兑换成1分，2分和5分硬币,有多少种兑换方法? Java程序

这个问题属于组合数学中的背包问题（Knapsack Problem），但因为硬币的数量和面值有限，所以可以简化为计数问题。给定一枚价值为1元的货币，可以用1分、2分和5分硬币的不同组合方式进行兑换，目的是找出所有可能的组合方式数。由于每增加一种硬币选择，都会增加一种新的兑换方式，直到所有的硬币都被包含在内为止。

我们可以使用递归的方式来解决这个问题。以下是简单的Java程序示例：

public class CoinChange {
    public static int coinChange(int amount, int[] coins) {
        int[][] dp = new int[amount + 1][coins.length + 1];
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
                if (coins[j] <= i) {
                    dp[i][j] = dp[i - coins[j]][j] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1]; // 如果当前硬币大于目标金额，则不选
                }
            }
        }
        return dp[amount][coins.length];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int amount = 100; // 1元人民币
        int[] coins = {1, 2, 5}; // 分币
        System.out.println("共有 " + coinChange(amount, coins) + " 种兑换方式");
    }
}

在这个程序中，`coinChange` 函数使用动态规划的思想，通过遍历每种硬币的选择和剩余金额，计算出所有可能的组合方式。

请注意，上述程序仅适用于计算1元硬币的兑换方式数，如果你想扩展到任意金额和硬币组合，需要对函数做一些修改。