算法设计题,要求给出问题描述及算法设计思路,用伪代码描述算法,最后分析算法的复杂度。用回溯法求解0-1背包问题。

### 回答1：
问题描述：有一个背包，容量为C，有n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，选入的物品不能超过背包容量，求在满足容量限制的条件下，背包能装下的最大价值。

算法设计思路：回溯法是一种在问题的解空间树中搜索问题解的算法。它从根节点开始，逐渐扩展搜索树的结点，直到找到所需的解为止。在搜索的过程中，如果发现当前搜索的节点不能构成可行解，则回溯到上一层节点，继续搜索其他分支。0-1背包问题可以通过回溯法求解，每次搜索时，分别选择当前物品放入背包或者不放入背包两种情况，直到搜索完所有物品或背包已经放满为止，最终选择最优的解作为问题的答案。

伪代码描述算法：

function backtrack(i, w, v, c, cw, cv, bestv)
    if i > n or cw = c then  //搜索结束条件
        if cv > bestv then
            bestv = cv
        return
    else
        if cw + w[i] <= c then  //选择当前物品放入背包
            cw = cw + w[i]
            cv = cv + v[i]
            backtrack(i+1, w, v, c, cw, cv, bestv)
            cw = cw - w[i]  //回溯
            cv = cv - v[i]
        backtrack(i+1, w, v, c, cw, cv, bestv)  //选择当前物品不放入背包

算法的复杂度：回溯法的时间复杂度为O(2^n)，因为每个物品都有放和不放两种情况，总共有2^n种情况需要考虑。空间复杂度取决于搜索树的深度，最坏情况下，搜索树的深度为n，因此空间复杂度为O(n)。

### 回答2：
问题描述：
有一个容量为C的背包，和n个物品，每个物品的重量是wi，价值是vi。要求在不超过背包容量的前提下，选择物品使得背包中物品的总价值最大。

算法设计思路：
- 首先定义一个二维数组dp，其中dp[x][y]表示从前x个物品中，总重量不超过y的情况下，背包中物品的最大价值。
- 初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示前0个物品和背包容量为0时的情况下，背包中物品的最大价值为0。
- 使用动态规划的思想，逐一计算dp数组的其他元素。对于dp[i][j]，有两种情况：
- 不选第i个物品，此时dp[i][j] = dp[i-1][j]；
- 选第i个物品，此时dp[i][j] = dp[i-1][j-wi] + vi；
- 取两种情况的较大值作为dp[i][j]的值。
- 最后返回dp[n][C]，即为最优解，表示在前n个物品中，在背包容量为C的情况下，背包中物品的最大价值。

伪代码描述算法：

function backtrack(k, w, v, C):
    n = length(w)  // 物品数量
    dp = new 2D array with size (n+1) x (C+1)  // 定义dp数组
    
    for i = 1 to n do:
        dp[i][0] = 0  // 初始化dp数组第一列为0
    
    for j = 0 to C do:
        dp[0][j] = 0  // 初始化dp数组第一行为0
    
    for i = 1 to n do:
        for j = 1 to C do:
            if w[i] > j then:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]  // 不选第i个物品
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])  // 选第i个物品
    
    return dp[n][C]  // 返回背包中物品的最大价值

算法的复杂度分析：
- 时间复杂度：外层循环需要执行n次，内层循环需要执行C次，所以总时间复杂度为O(nC)。
- 空间复杂度：除了输入的物品重量、价值列表外，额外使用了一个二维数组dp，其大小为(n+1) x (C+1)，所以总空间复杂度为O(nC)。