证明(m-n)!*(m+n)!为完全平方
时间: 2024-05-18 13:17:49 浏览: 14
当$m=n$时,$(m-n)!*(m+n)!=(m-m)!*(m+m)! = 0!*(2m)! = (2m)!$,这是一个完全平方数,因为$(2m)!$中的每个因数都被计数了两次。因此,$(m-n)!*(m+n)!$是完全平方数。
当$m\neq n$时,$(m-n)!$和$(m+n)!$中必定存在一些质因数$p$,它们的指数为奇数。这是因为,对于$p$来说,$p$在$(m-n)!$中的指数是$\lfloor\frac{m-n}{p}\rfloor$,在$(m+n)!$中的指数是$\lfloor\frac{m+n}{p}\rfloor$,这两个指数的奇偶性一定不同,因为$m$和$n$是不同的整数,所以$\lfloor\frac{m-n}{p}\rfloor$和$\lfloor\frac{m+n}{p}\rfloor$中至少有一个是奇数。
因此,$(m-n)!*(m+n)!$中包含了一些质因数的指数是奇数,不能表示为完全平方数的形式。因此,$(m-n)!*(m+n)!$是完全平方数的充分必要条件是$m=n$。
相关问题
证明:不包含三角形 K3 作为子图的 n 阶图,其边数 m 必满足 m ≤ n ^2 / 4 。
首先,我们需要明确一下什么是三角形 K3。三角形 K3 是一个由三个顶点和三条边组成的简单无向图,如下图所示:
```
A
/ \
C---B
```
现在来证明题目所述的结论。
假设存在一个不包含三角形 K3 作为子图的 n 阶图 G,其边数为 m。我们要证明的是 m ≤ n^2/4。
我们对 G 的每个顶点 u 计算其度数 d(u),并将所有 d(u) 的平方相加,得到:
∑d(u)^2
其中 u 是 G 的任意一个顶点。
由于 G 中不包含三角形 K3 作为子图,因此对于任意两个不同的顶点 u 和 v,它们之间最多只有一条边。因此,对于任意一个顶点 u,它的度数 d(u) 最多为 n-1,因此 d(u)^2 最大为 (n-1)^2。
因此,我们有:
∑d(u)^2 ≤ n(n-1)^2
接下来,我们来计算图 G 的边数 m。由于每条边都连接两个顶点,因此 m 的值可以通过计算所有顶点的度数之和再除以 2 得到:
m = ∑d(u) / 2
由于 G 中有 n 个顶点,因此 ∑d(u) 就是所有顶点的度数之和,即 2m。因此,我们有:
2m = ∑d(u) ≤ n(n-1)
将这个不等式两边都除以 n,得到:
2m / n ≤ n-1
移项,将右边的 n-1 变为 2m / n 的形式,得到:
m ≤ n^2 / 2 - n / 2
观察右边的式子,我们发现它是一个关于 n 的二次函数,开口向上,因此它在 n = 1 和 n = ∞ 时取得最小值。因此,当 n ≥ 2 时,右边的式子最小值为 (1/4),即:
n^2 / 2 - n / 2 ≥ 1/4
移项,得到:
m ≤ n^2 / 4
因此,我们证明了当一个不包含三角形 K3 作为子图的图 G 有 n 个顶点时,其边数 m 必须满足 m ≤ n^2 / 4。
设λ为矩阵A∈Cmxn的特征值,证明|λ|≤根号下m次方(||A||^m )
根据矩阵特征值的定义,有A v = λ v,其中v是非零向量,λ是特征值。则有:
|A|^m |v|^2 = |A^m v|^2 = |λ^m v|^2 = |λ|^2m |v|^2
因为v是非零向量,所以|v|^2不为0。因此,上式两边同时除以|v|^2,得到:
|A|^m = |λ|^2m
两边同时开m次方,得到:
|λ| ≤ ||A||
因此,证明了|λ|≤根号下m次方(||A||^m)。
关于GMM的迭代计算,它是通过EM算法来进行迭代式的求解的。EM算法是一种迭代算法,用于含有隐变量的概率模型的参数估计。在GMM中,EM算法的目标是最大化观测数据的对数似然函数,通过迭代求解来得到模型的参数。具体来说,EM算法分为两步:E步和M步。在E步中,根据当前的参数估计值,计算隐变量的后验概率分布;在M步中,根据计算得到的隐变量的后验概率分布,更新模型的参数估计值。通过不断迭代E步和M步,最终得到模型的参数估计值。
至于为什么kmeans,GMM,EM满足上述描述的方式,这是因为它们都是基于最大化观测数据的对数似然函数来进行参数估计的。在kmeans中,最大化的是数据点与其所属簇中心的距离平方和;在GMM中,最大化的是数据点属于各个高斯分布的后验概率之和的对数;在EM算法中,最大化的是观测数据的对数似然函数。因此,它们都满足上述描述的方式。
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