如果an的平方和bn的平方,n为下标。则从n=1到∞绝对值an与绝对值bn想加除以2是否收敛
时间: 2024-02-19 12:02:04 浏览: 25
根据柯西收敛原理,数列收敛的充要条件是它是柯西数列,也就是对于任意正实数 ε ,都存在一个正整数 N ,使得当 n,m>N 时,|an−am|<ε。因此,我们需要证明对于任意正实数 ε,都存在一个正整数 N,使得当 n>m>N 时,|(abs(an)+abs(bn))/2−(abs(am)+abs(bm))/2|<ε。
首先,根据三角不等式,有:
|an+bn| ≤ |an| + |bn|
因此,
|abs(an)+abs(bn)| ≤ |an| + |bn|
又因为
|an| ≤ sqrt(an^2+bn^2)
所以,有
|abs(an)+abs(bn)| ≤ sqrt(an^2+bn^2) + sqrt(an^2+bn^2) = 2sqrt(an^2+bn^2)
因此,有
|(abs(an)+abs(bn))/2−(abs(am)+abs(bm))/2| ≤ sqrt(an^2+bn^2)+sqrt(am^2+bm^2) ≤ 2sqrt((an^2+bn^2)+(am^2+bm^2))
我们需要证明对于任意正实数 ε,都存在一个正整数 N,使得当 n>m>N 时,2sqrt((an^2+bn^2)+(am^2+bm^2))<ε。
因为 an^2+bn^2 是收敛的,所以存在一个正整数 K,使得当 n>m>K 时,an^2+bn^2< ε/4。 同理,am^2+bm^2 也是收敛的,所以存在一个正整数 L,使得当 n>m>L 时,am^2+bm^2< ε/4。
令 N = max(K,L),则当 n>m>N 时,有
2sqrt((an^2+bn^2)+(am^2+bm^2)) < 2sqrt(ε/2) = ε^(1/2)
因此,对于任意正实数 ε,都存在一个正整数 N,使得当 n>m>N 时,|(abs(an)+abs(bn))/2−(abs(am)+abs(bm))/2|<ε。因此,从 n=1 到∞ 绝对值an与绝对值bn相加除以2是收敛的。
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