、在一个监视区域为边长100(长度单位)的正方形中,每个节点的覆盖半径均为10(长度单位)。需要对给定监视区域在一定的覆盖保证下应放置节点的最少数量。建立数学模型,讨论覆盖该区域所需要的最少节点个数,并对于上述给定的监视区域及覆盖半径,确定在随机放置时至少需要放置多少个节点,才能使得成功覆盖整个区域的概率在95%以上?
时间: 2024-04-19 08:28:48 浏览: 18
为了建立数学模型,我们可以将正方形监视区域划分成多个小正方形单元格,每个单元格的边长为覆盖半径的两倍(20个长度单位)。假设每个节点只能覆盖所在单元格的中心点,在这种情况下,我们可以计算出在给定监视区域下所需的最少节点个数。
首先,我们计算整个监视区域所需的单元格数量。对于正方形区域,边长为100个长度单位,每个单元格的边长为20个长度单位,所以横向有5个单元格(100/20=5),纵向也有5个单元格。
然后,我们计算在每个单元格中放置一个节点的情况下,所需的节点个数。由于每个节点的覆盖半径为10个长度单位,它可以覆盖所在单元格的中心点以及相邻8个单元格的中心点。因此,每个节点可以覆盖9个单元格。
在上述情况下,我们需要放置的节点个数等于监视区域的单元格数除以每个节点所能覆盖的单元格数。在这种情况下,所需的最少节点个数为:
节点个数 = (横向单元格数 * 纵向单元格数) / 9
节点个数 = (5 * 5) / 9 = 2.78
由于节点个数必须为整数,所以我们需要向上取整,即最少需要放置3个节点。
对于随机放置节点的情况,我们可以使用概率来确定所需的节点个数。假设我们放置n个节点,每个节点都有相同的概率分布。成功覆盖整个区域的概率可以表示为:
P(成功覆盖整个区域) = 1 - P(至少有一个单元格没有被覆盖)
在随机放置节点的情况下,一个单元格没有被覆盖的概率为:
P(一个单元格没有被覆盖) = (1 - 1/9)^n
要使成功覆盖整个区域的概率在95%以上,我们需要找到满足以下不等式的最小整数n:
1 - (1 - 1/9)^n ≥ 0.95
解这个不等式,我们可以得到n≥16.44。因此,至少需要放置17个节点才能使得成功覆盖整个区域的概率在95%以上。
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