抽象代数：求GF（3）[x]上多项式x^6+x^3+1、x^2+x+1的最大公因式

在GF(3)[x]上，我们可以使用辗转相除法来求解多项式的最大公因式。

首先，我们用长除法计算x^6+x^3+1除以x^2+x+1的商和余数：

x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x

___________

x^2 + x + 1 | x^6 + x^3 + 1

x^6 + x^5 + x^4

-------------------

2x^5 + x^4 + x^3

2x^5 + 2x^4 + 2x^3

-------------------

2x^4 + x^3 + 1

2x^4 + 2x^3 + 2x^2

-------------------

2x^2 + x + 1

因此，我们得到了x^6+x^3+1和x^2+x+1的商为x^4+2x^3+2x^2+x，余数为2x^2+x+1。

接下来，我们用长除法计算x^2+x+1除以2x^2+x+1的商和余数：

2x

_______

2x^2 + x + 1 | x^2 + x + 1

2x^2 + x

-----------

0

因此，2x^2+x+1是x^6+x^3+1和x^2+x+1的最大公因式。

因为GF(3)只有3个元素，所以我们可以将多项式中所有系数模3，得到最简形式：x^2+2x+1。