鱼群是一种可再生的资源,若目前鱼群的总数是x公斤,经过一年的成长与繁殖,第二年鱼群的总数变为y公斤,反映x与y之间相互关系的曲线称为再生产曲线。现设鱼群的再生产曲线为,r>1。为保障鱼群的数量维持稳定,在捕鱼时必须注意适度捕捞。问鱼群的数量控制在多大时,才能使我们获得最大的持续捕获量?某鱼塘最多可养鱼10万公斤,若鱼量超过10万公斤,由于缺氧等原因会造成鱼群大范围死亡。根据经验,鱼群年自然增长率为4,试建模计算每年的合理捕捞量。
时间: 2024-04-04 20:31:57 浏览: 5
根据题意,我们可以建立以下模型:
设第n年鱼群总数为$x_n$,第n+1年鱼群总数为$y_n$,则有再生产曲线为:
$y_n=r(1-\frac{x_n}{K})x_n$
其中,r为鱼群年自然增长率,K为鱼塘最大容纳量。
为了保证鱼群数量稳定,我们需要控制$x_n$在一定范围内,假设控制在[a,b]之间。
设第n年的捕捞量为$y_n-x_n$,则每年的合理捕捞量为:
$\max_{a\le x_n\le b}(y_n-x_n)$
根据再生产曲线,我们可以得到:
$y_n=rx_n(1-\frac{x_n}{K})$
将其带入上式,得到:
$\max_{a\le x_n\le b}(rx_n(1-\frac{x_n}{K})-x_n)$
化简可得:
$\max_{a\le x_n\le b}(rx_n-\frac{r}{K}x_n^2-x_n)$
对其求导,得到:
$r-\frac{2rx_n}{K}-1=0$
解得:
$x_n=\frac{Kr-1}{2r}$
将其代入原式,得到:
$\max_{a\le x_n\le b}(\frac{K^2r-3K+2r}{4r})$
因为鱼群数量不能超过最大容纳量K,所以我们需要将解限制在[a,min{b,K}]之间。
每年的合理捕捞量为:
$y_n-x_n=r(\frac{Kr-1}{2r})(1-\frac{\frac{Kr-1}{2r}}{K})\le\frac{Kr-1}{4}$
其中,$\frac{Kr-1}{2r}$为鱼群数量控制在最优水平时的数量。
综上所述,每年的合理捕捞量为$\frac{Kr-1}{4}$。