有向加权图（权值存在负数）求最短路径的边介数

最短路径的边介数可以通过 Floyd 算法来计算。具体步骤如下：

1. 初始化边介数矩阵为 0。

2. 对于每一对节点 u 和 v，用 Floyd 算法求出它们之间的最短路径长度和路径条数。

3. 对于每一对节点 u 和 v，遍历它们之间的所有路径，如果路径上的边 e 在最短路径中出现了 k 次，则将边介数矩阵中 e 的值加上 1/k。

4. 边介数矩阵中的值即为最短路径的边介数。

需要注意的是，当存在负环时，最短路径长度没有意义，因为可以无限次地绕着负环走来缩小路径长度。此时最短路径的边介数也没有意义。

相关问题

有向加权图（权值存在负数）求最短路径的边介数python实现

以下是Python实现有向加权图最短路径的边介数的示例代码：

import heapq

def shortest_path_edge_betweenness(G, s, t):
    # 初始化边介数和距离
    betweenness = {(u, v): 0.0 for u in G for v in G[u]}
    distance = {u: float('inf') for u in G}
    distance[s] = 0.0
    paths = {u: [] for u in G}
    paths[s] = [[s]]

    # 计算最短路径和路径数量
    queue = [(0.0, s, None)]
    while queue:
        (dist, u, p) = heapq.heappop(queue)
        for v, e in G[u].items():
            w = e['weight']
            if distance[v] > dist + w:
                distance[v] = dist + w
                paths[v] = [path + [v] for path in paths[u]]
                heapq.heappush(queue, (distance[v], v, u))
            elif distance[v] == dist + w:
                paths[v].extend([path + [v] for path in paths[u]])

    # 计算边介数
    credit = {u: 1.0 for u in G}
    while paths[t]:
        path = paths[t].pop()
        for i in range(len(path) - 1):
            u, v = path[i], path[i + 1]
            credit[v] += credit[u] * betweenness[(u, v)]
            betweenness[(u, v)] += credit[u] / credit[v]

    return betweenness

该算法使用Dijkstra算法计算最短路径和路径数量，并通过迭代计算边介数。该算法的时间复杂度为$O(mn\log n)$，其中$m$是边数，$n$是节点数。

拓扑图的加权（权值有负值）最短路径以及边介数的计算python

拓扑图的加权最短路径可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法实现，而边介数可以使用Brandes算法实现。

以下是使用Python实现Dijkstra算法和Brandes算法的示例代码：

# Dijkstra算法
def dijkstra(graph, start):
    dist = {node: float('inf') for node in graph}  # 起点到各点的距离，默认无限大
    dist[start] = 0  # 起点到自身距离为0
    visited = set()  # 已访问的节点
    while len(visited) < len(graph):
        node = min(set(dist.keys()) - visited, key=dist.get)  # 未访问的节点中距离最短的节点
        visited.add(node)
        for neighbor, weight in graph[node].items():
            newdist = dist[node] + weight
            if newdist < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = newdist
    return dist

# Brandes算法
def brandes(graph):
    betweenness = {node: 0.0 for node in graph}  # 节点介数初始化为0
    for node in graph:
        stack = []
        pred = {v: [] for v in graph}
        sigma = {v: 0.0 for v in graph}
        sigma[node] = 1.0
        dist = {v: -1 for v in graph}
        dist[node] = 0
        queue = [node]
        while queue:
            v = queue.pop(0)
            stack.append(v)
            for w in graph[v]:
                if dist[w] < 0:
                    queue.append(w)
                    dist[w] = dist[v] + 1
                if dist[w] == dist[v] + 1:
                    sigma[w] += sigma[v]
                    pred[w].append(v)
        delta = {v: 0.0 for v in graph}
        while stack:
            w = stack.pop()
            for v in pred[w]:
                delta[v] += (sigma[v]/sigma[w]) * (1 + delta[w])
            if w != node:
                betweenness[w] += delta[w]
    return betweenness

其中，graph是一个字典，表示拓扑图的邻接矩阵，例如：

graph = {
    'A': {'B': 1, 'C': 4},
    'B': {'D': 2},
    'C': {'D': 3},
    'D': {}
}

表示图中有4个节点A、B、C、D，边AB权值为1，AC权值为4，BD权值为2，CD权值为3。注意，如果两个节点之间没有边，则对应的权值为空字典。